Strona 1 z 2

całka z pierwiastkiem

: 23 cze 2010, o 09:24
autor: fanch
mam takie pytanko, mianowicie jak policzyć taką oto całkę :

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{1+4x ^{2} }dx}\)

całka z pierwiastkiem

: 23 cze 2010, o 09:57
autor: Kartezjusz
Wskazówka :\(\displaystyle{ t^{2}=4x^{2}+1}\)
Wyznacz x i dx. Otrzymasz całkę do arcsin.

całka z pierwiastkiem

: 23 cze 2010, o 10:07
autor: fanch
dzięki.

całka z pierwiastkiem

: 23 cze 2010, o 10:22
autor: meninio
Powyższe podstawienie nic nie daje.
Jak już podstawienie to takie \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}\sinh t}\).

całka z pierwiastkiem

: 23 cze 2010, o 11:10
autor: cosinus90
Zgadzam się z meninio, wtedy po podstawieniu korzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ 1+ \sinh ^{2} \alpha = \cosh ^{2} \alpha}\) , upraszczamy i po wyliczeniu całki powracamy do zmiennej x za pomocą funkcji odwrotnej area.

całka z pierwiastkiem

: 23 cze 2010, o 13:58
autor: Mariusz M
Pierwsze podstawienie Eulera też będzie dobre

\(\displaystyle{ \sqrt{1+4x^2}=t-2x}\)


Można też wstępnie przez części i dopiero pierwsze podstawienie Eulera

\(\displaystyle{ \int{ \sqrt{1+4x^2} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{1+4x^2}=t-2x}\)

\(\displaystyle{ 1=t^2-4xt}\)

\(\displaystyle{ t^2-1=4xt}\)

\(\displaystyle{ x=\frac{t^2-1}{4t}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{1+4x^2}=t-2x=t- \frac{t^2-1}{2t}= \frac{t^2+1}{2t}}\)

\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{8t^2-4t^2+4}{16t^2} \mbox{d}t}\)

\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{t^2+1}{4t^2} \mbox{d}t}\)

\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \left(t^2+1 \right)^2 }{8t^3} \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{8} \int{ \frac{ t^4+2t^2+1 }{t^3} \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{8} \int{ t+ \frac{2}{t}+ \frac{1}{t^3} \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{8} \left( \frac{t^2}{2}+2\ln{ \left|t \right|- \frac{1}{2t^2} } \right)+C}\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{16} \left( t^2+4\ln{ \left|t \right|- \frac{1}{t^2} } \right)+C}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{4} \left(2x \sqrt{1+4x^2}+\ln{ \left|2x+ \sqrt{1+4x^2} \right| } \right)+C}\)

całka z pierwiastkiem

: 23 cze 2010, o 20:00
autor: cosinus90
Oczywiście, ale po to znamy inne metody żeby sobie upraszczać sprawę a nie komplikować, bo podstawienie Eulera co prawda jest uniwersalne, ale bardzo czasochłonne dlatego też dalej obstaję przy podstawieniu hiperbolicznym.

całka z pierwiastkiem

: 23 cze 2010, o 21:25
autor: Mariusz M
cosinus90, tak ale funkcje hiperboliczne nie są wprowadzane
np w szkole średniej

Tutaj można też zastosować podstawienie \(\displaystyle{ 2x=\tan{t}}\)

Jak już stosować podstawienia hiperboliczne to czy nie lepiej przedstawić je
za pomocą funkcji wykładniczej

Tutaj podstawienie \(\displaystyle{ 4x=e^{t}-e^{-t}}\)

Ja uważam że jeśli już stosować podstawienie hiperboliczne to najlepiej
przedstawić je za pomocą funkcji wykładniczej ponieważ funkcję wykładniczą wszyscy
znają a funkcje hiperboliczne już nie

całka z pierwiastkiem

: 23 cze 2010, o 21:27
autor: cosinus90
mariuszm, to niepoważny argument - a całki to się wprowadza w szkole średniej? Skoro rozmawiamy nt. podstaw matematyki wyższej to używam wiedzy i pojęć z tego zakresu.
I już nie mieszajmy koledze bo się zaraz totalnie zagubi

całka z pierwiastkiem

: 23 cze 2010, o 22:52
autor: Mariusz M
No dobra scałkuje to teraz podstawieniem hiperbolicznym ale
specjalnie przedstawię je za pomocą funkcji wykładniczych

\(\displaystyle{ \int{ \sqrt{1+4x^2} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ 2x= \frac{1}{2} \left(e^{t}-e^{-t} \right)}\)

\(\displaystyle{ 2 \mbox{d}x = \frac{1}{2} \left(e^{t}+e^{-t} \right) \mbox{d}t}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{8} \int{ \sqrt{ \frac{4+ \left(e^t-e^{-t} \right) ^2}{4} } \cdot \left(e^t+e^{-t} \right) \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{8} \int{ \left(e^{t}+e^{-t} \right)^2 \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{8} \int{ e^{2t}+2+e^{-2t} \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{8} \int{ \frac{1}{2} e^{2t}+2t- \frac{1}{2} e^{-2t} \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{16} \left(e^{2t}-e^{-2t}+4t \right)+C}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{16} \left( \left(e^{t}-e^{-t} \right) \left(e^{t}+e^{-t} \right) +4t \right)+C}\)

\(\displaystyle{ e^{t}-e^{-t}=4x}\)

\(\displaystyle{ e^{t}+e^{-t}=2 \sqrt{1+4x^2}}\)

\(\displaystyle{ 2e^{t}=4x+2 \sqrt{1+4x^2}}\)

\(\displaystyle{ e^{t}=2x+\sqrt{1+4x^2}}\)

\(\displaystyle{ t=\ln{ \left|2x+\sqrt{1+4x^2} \right| }}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{16} \left( 8x \sqrt{1+4x^2} +4\ln{ \left|2x+\sqrt{1+4x^2} \right| } \right)+C}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{4} \left( 2x \sqrt{1+4x^2}+\ln{ \left|2x+\sqrt{1+4x^2} \right| } \right)+C}\)


No i teraz pytanie czy podstawienie Eulera na pewno jest bardziej skomplikowane ?

całka z pierwiastkiem

: 23 cze 2010, o 23:51
autor: bedbet
To zależy co dla kogo jest bardziej skomplikowane. Możesz równie dobrze rozwiązać metodą całek stowarzyszonych. Myśleć wtedy za wiele nie trzeba, ale jest trochę liczenia.

całka z pierwiastkiem

: 24 cze 2010, o 16:31
autor: cosinus90
\(\displaystyle{ I = \int{ \sqrt{1+4x^2} \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ 2x = \sinh t \Leftrightarrow \dd x = \frac{1}{2} \cosh t \dd t}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ I = \int \sqrt{1+ \sinh ^{2}t } \cdot \frac{1}{2} \cosh t \dd t = \frac{1}{2} \int \cosh^2 t = \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}(1+\cosh 2t) \dd t = \frac{1}{4} \left( t + \frac{1}{2}\sinh 2t \right) + C = \frac{1}{4} \left[ \arsinh \left( 2x \right) + \frac{1}{2} \left( 4x + \sqrt{1+ 4 x^{2} } \right) \right] + C}\)

Wydaje mi się, że mój sposób jednak jest mniej skomplikowany;)

całka z pierwiastkiem

: 24 cze 2010, o 18:25
autor: meninio
Tylko czekałem kiedy użytkownik mariuszm wrzuci swoje dwa grosze do tego postu....
Dlatego na tę okoliczność przygotowałem specjalny wiersz:
Mariuszm na forum najlepiej wie
jak całki liczy się.......

całka z pierwiastkiem

: 24 cze 2010, o 18:33
autor: cosinus90
Hehehe widzę, że nie tylko tutaj próbuje przeforsować łopatologiczne sposoby jako najlepsze?

całka z pierwiastkiem

: 24 cze 2010, o 18:44
autor: meninio
Dokładnie.
Jego posty prześladują mnie już od dawien dawna.