Obliczyć
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{ \sqrt{e^{2 \cdot x}+4 \cdot e^{x}+1} }}\)
Całka wykładnicza
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Całka wykładnicza
Najpierw podstawienie:
\(\displaystyle{ t=e^{x}}\)
\(\displaystyle{ dt=e^{x}dx}\)
\(\displaystyle{ dt=tdx}\)
\(\displaystyle{ dx=\frac{dt}{t}}\)
i całka przybiera postać: \(\displaystyle{ \int \frac{dt}{t\sqrt{t^{2}+4t+1}}}\)
Teraz podstawiamy \(\displaystyle{ t=\frac{1}{p}}\)
\(\displaystyle{ dt=-\frac{dp}{p^{2}}}\)
i całka przybiera postać: \(\displaystyle{ -\int \frac{dp}{p\sqrt{\frac{1}{p^{2}}+\frac{4}{p}+1}}=-\int \frac{dp}{\sqrt{p^{2}+4p+1}}=-ln(\sqrt{p^{2}+4p+1}+p+2)+C}\)
wracając do podstawienia, otrzymujemy \(\displaystyle{ x-ln(\sqrt{e^{2x}+4e^{x}+1}+2e^{x}+1)+C}\)
\(\displaystyle{ t=e^{x}}\)
\(\displaystyle{ dt=e^{x}dx}\)
\(\displaystyle{ dt=tdx}\)
\(\displaystyle{ dx=\frac{dt}{t}}\)
i całka przybiera postać: \(\displaystyle{ \int \frac{dt}{t\sqrt{t^{2}+4t+1}}}\)
Teraz podstawiamy \(\displaystyle{ t=\frac{1}{p}}\)
\(\displaystyle{ dt=-\frac{dp}{p^{2}}}\)
i całka przybiera postać: \(\displaystyle{ -\int \frac{dp}{p\sqrt{\frac{1}{p^{2}}+\frac{4}{p}+1}}=-\int \frac{dp}{\sqrt{p^{2}+4p+1}}=-ln(\sqrt{p^{2}+4p+1}+p+2)+C}\)
wracając do podstawienia, otrzymujemy \(\displaystyle{ x-ln(\sqrt{e^{2x}+4e^{x}+1}+2e^{x}+1)+C}\)