całka z pierwiastkiem

[południowalolka]

Mam problem, z prosta całką dopadło mnie jakies zacmienie. Wiem jaki bedzie wynik mam za to problem jak to rozpisac.

Całka:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int \sqrt{1- x^{2} }}\)

Bede wdzieczna za pomoc

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ =\frac{1}{2} \int \frac{1-x^2}{\sqrt{1- x^{2} }}dx}\)

Pozdrawiam.

[południowalolka]

I teraz moge rozpisac ze \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int \frac{1}{ \sqrt{1-x ^{2} } } - \frac{1}{2} \int \frac{x ^{2} }{ \sqrt{1-x ^{2} } }}\) I pierwsza czesc tj arcsinx a druga moge dalej rozpisac, w rozw koncowym wystepuje ułamek 1/4 i nie wiem skad on sie bierze???, cos cały cza srobie zle.

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} arcsinx+ \frac{1}{4} x( \sqrt{1-x ^{2} })}\)

[BettyBoo]

I teraz moge rozpisac ze \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int \frac{1}{ \sqrt{1-x ^{2} } } - \frac{1}{2} \int \frac{x ^{2} }{ \sqrt{1-x ^{2} } }}\) I pierwsza czesc tj arcsinx a druga moge dalej rozpisac, w rozw koncowym wystepuje ułamek 1/4 i nie wiem skad on sie bierze???, cos cały cza srobie zle.

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} arcsinx+ \frac{1}{4} x( \sqrt{1-x ^{2} })}\)

Dobrze robisz. Oblicz tą drugą całkę to sama zobaczysz.

Pozdrawiam.

[Eszi]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int \frac{1-x^2}{\sqrt{1- x^{2} }}dx}\)
Można tą całkę policzyć też ze wzoru Ostrogradskiego.

[południowalolka]

No niestety pomimo wielu prób nie udało mi sie tego wyliczyc, juz mi sie teraz wszystko pokreciło, w efekcie koncowym dostałam tożsamosc... niestety musze sie poddac

[meninio]

Typowa całka na podstawienie trygonometryczne \(\displaystyle{ x=\sin t}\) i po sprawie.

[południowalolka]

No tylko jak mam: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int \frac{1-x ^{2} }{ \sqrt{1-x ^{2} } } =
=\frac{1}{2} * arc sinx - \frac{1}{2} \int \frac{x ^{2} }{ \sqrt{1-x ^{2} } }}\)

i teraz ta całka \(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{ \sqrt{1-x ^{2} } }}\)całkowałam przez czesci i otrzymałam:
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{ \sqrt{1-x ^{2} } } = x ^{2}arcsinx -2 \int x*arcsinx}\) i tu robię jakąś głupotę, czy ktoś mógłby mi rozpisac jak poprawnie powinnam rozpisac całke \(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{ \sqrt{1-x ^{2} } }}\) aby otrzymac: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} arcsin x - \frac{1}{2}x*(1-x ^{2})}\)???

[M Ciesielski]

\(\displaystyle{ \int \sqrt{1-x^2} \mbox{d}x = \left| \begin{array} \ x = \sin t \\ \mbox{d}x = \cos t \mbox{d}t \end{array} \right| = \int \cos^2 t \mbox{d}t}\)

Teraz ze wzoru na cosinus podwojonego kąta albo przez części.

Pozdrawiam.

[Mariusz M]

Eee tam zaraz podstawienie trygonometryczne wystarczy przez części

\(\displaystyle{ \int{ \sqrt{1-x^2} \mbox{d}x }= \begin{vmatrix} \mbox{d}u= \mbox{d}x &v= \sqrt{1-x^2} \\ u=x& \mbox{d}v=- \frac{x}{ \sqrt{1-x^2} } \end{vmatrix}=x \sqrt{1-x^2}+ \int{\frac{x^2-1}{ \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x }+ \int{ \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ I= \int{ \sqrt{1-x^2} }}\)

\(\displaystyle{ I=x \sqrt{1-x^2}-I+ \int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ 2I=x \sqrt{1-x^2}+ \arcsin{x}}\)

\(\displaystyle{ I= \frac{1}{2} \left(x \sqrt{1-x^2}+ \arcsin{x} \right)+C}\)

Można też za pomocą całek stowarzyszonych obliczyć

Z jednej strony całkujemy przez części

\(\displaystyle{ \int{ \sqrt{1-x^2} \mbox{d}x }=x \sqrt{1-x^2}+\int{ \frac{x^2}{ \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x }}\)

Z drugiej strony mamy

\(\displaystyle{ \int{ \sqrt{1-x^2} \mbox{d}x }= \int{ \frac{1}{ \sqrt{1-x^2}} \mbox{d}x }-\int{ \frac{x^2}{ \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x }}\)

Teraz wystarczy całki dodać i podzielić przez stały współczynnik

[meninio]

Eeeeee jak dobrze, że mamy taką postać jak mariuszm, bo on wie wszystko najlepiej i tylko on za każdego rozwiąże każdą całką najlepszym sposobem....

[abc666]

meninio, cicho! Co z tego, że z podstawieniem można zrobić w dwie linijki! Przecież można przez części robić!