Strona 1 z 1
Całka nieoznaczona
: 10 maja 2010, o 00:09
autor: weed1
Wiem, że tą całkę można rozwiazać podstawiając \(\displaystyle{ \tg \frac{x}{2}}\), ale również posiadam taką wiedzę, iż można rozwiązać przez podstawienie(oczywiście po przekształceniach - i właśnie z tym mam kłopot, a tak ją muszę rowiązać).
\(\displaystyle{ \int \frac{(2\sin x \cosx+cos x)dx}{\cos^{3}(x)+\cos x}}\)
Proszę o pomoc.
Całka nieoznaczona
: 10 maja 2010, o 01:11
autor: Mariusz M
\(\displaystyle{ \int \frac{(2\sin x \cosx+cos x)dx}{\cos^{3}(x)+\cos x}}\)
\(\displaystyle{ =\int{ \frac{2\tan{x}+1}{\cos^{2}+1} \mbox{d}x }}\)
I teraz wystarczy podstawienie
\(\displaystyle{ t=\tan{x}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}t= \left(1+t^2 \right) \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{ \mbox{d}t}{1+t^2}}\)
\(\displaystyle{ =\int{ \frac{2t+1}{ \frac{1}{1+t^2}+1 } \cdot \frac{ \mbox{d}t}{1+t^2} }}\)
\(\displaystyle{ =\int{ \frac{2t+1}{ \frac{2+t^2}{1+t^2} } \cdot \frac{ \mbox{d}t}{1+t^2} }}\)
\(\displaystyle{ =\int{ \frac{ \left(2t+1 \right) \left(1+t^2 \right) }{2+t^2} \cdot \frac{ \mbox{d}t}{1+t^2} }}\)
\(\displaystyle{ =\int{ \frac{2t+1}{2+t^2} \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ =\ln{ \left| 2+t^2\right| }+ \frac{1}{2}\int{ \frac{ \sqrt{2} \cdot \frac{1}{ \sqrt{2} } }{1+ \left( \frac{t}{ \sqrt{2} } \right) ^2} \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ =\ln{ \left| 2+t^2\right| }+ \frac{1}{ \sqrt{2} }\arctan{ \left( \frac{t}{ \sqrt{2} } \right) }}\)
\(\displaystyle{ =\ln{ \left| 2+\tan^2{x}\right| }+ \frac{1}{ \sqrt{2} }\arctan{ \left( \frac{\tan{x}}{ \sqrt{2} } \right) }+C}\)