Całka nieoznaczona

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
weed1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 16 wrz 2008, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 7 razy

Całka nieoznaczona

Post autor: weed1 » 10 maja 2010, o 00:09

Wiem, że tą całkę można rozwiazać podstawiając \(\displaystyle{ \tg \frac{x}{2}}\), ale również posiadam taką wiedzę, iż można rozwiązać przez podstawienie(oczywiście po przekształceniach - i właśnie z tym mam kłopot, a tak ją muszę rowiązać).

\(\displaystyle{ \int \frac{(2\sin x \cosx+cos x)dx}{\cos^{3}(x)+\cos x}}\)

Proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 10 maja 2010, o 00:40 przez M Ciesielski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Wzór w temacie. Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6738
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1219 razy

Całka nieoznaczona

Post autor: mariuszm » 10 maja 2010, o 01:11

\(\displaystyle{ \int \frac{(2\sin x \cosx+cos x)dx}{\cos^{3}(x)+\cos x}}\)

\(\displaystyle{ =\int{ \frac{2\tan{x}+1}{\cos^{2}+1} \mbox{d}x }}\)

I teraz wystarczy podstawienie

\(\displaystyle{ t=\tan{x}}\)

\(\displaystyle{ \mbox{d}t= \left(1+t^2 \right) \mbox{d}x}\)

\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{ \mbox{d}t}{1+t^2}}\)

\(\displaystyle{ =\int{ \frac{2t+1}{ \frac{1}{1+t^2}+1 } \cdot \frac{ \mbox{d}t}{1+t^2} }}\)

\(\displaystyle{ =\int{ \frac{2t+1}{ \frac{2+t^2}{1+t^2} } \cdot \frac{ \mbox{d}t}{1+t^2} }}\)

\(\displaystyle{ =\int{ \frac{ \left(2t+1 \right) \left(1+t^2 \right) }{2+t^2} \cdot \frac{ \mbox{d}t}{1+t^2} }}\)

\(\displaystyle{ =\int{ \frac{2t+1}{2+t^2} \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ =\ln{ \left| 2+t^2\right| }+ \frac{1}{2}\int{ \frac{ \sqrt{2} \cdot \frac{1}{ \sqrt{2} } }{1+ \left( \frac{t}{ \sqrt{2} } \right) ^2} \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ =\ln{ \left| 2+t^2\right| }+ \frac{1}{ \sqrt{2} }\arctan{ \left( \frac{t}{ \sqrt{2} } \right) }}\)

\(\displaystyle{ =\ln{ \left| 2+\tan^2{x}\right| }+ \frac{1}{ \sqrt{2} }\arctan{ \left( \frac{\tan{x}}{ \sqrt{2} } \right) }+C}\)

ODPOWIEDZ