Znaleźć funkcję, dla której całka jest rozbieżna

[patt]

Witam. Muszę się uporać z następującym problemem:

Podaj przykład funkcji \(\displaystyle{ u}\) rosnącej w przedziale \(\displaystyle{ [a,infty[,}\) gdzie \(\displaystyle{ a > 0, a \in \mathbb{R}}\) i takiej, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{u(x)}{x} = 1}\), dla której całka

\(\displaystyle{ \int_{a}^{\infty} \frac{u(x) - x}{x^2}dx}\)

jest rozbieżna.

Bardzo proszę o pomoc, bo naprawdę nie mam już pomysłu na taką funkcję. Podobno ma być coś z logarytmem.

Pozdrawiam.

[pipol]

Niech \(\displaystyle{ \chi_A}\) oznacza funkcję charakterystyczną zbioru \(\displaystyle{ A}\). Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ u:\mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}}\) , \(\displaystyle{ u(x) =x -chi_{[0,10)} (x) -xcdot sum_{n=10}^{infty} frac{1}{ln n}cdot chi_{[n,n+1)} (x)}\) . Powinna być dobra.

[patt]

Ojej, dziękuję bardzo!


Ale czy nie ma czegoś bardziej... hmm... szybkiego do wymyślenia, bez sumy np.?