objętość bryły

[lolek900]

Mam taki problem...
Obliczyć objętość bryły obrotowej powstałej poprzez obrót funkcji
\(\displaystyle{ \left[0, \frac{ \pi }{7} \right] \in x, f(x) = sin(7x)}\)
wokół osi OX.

wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{ \pi^{2}}{28}}\)

ale coś mi się nie zgadza :/ proszę, żeby ktoś to policzył

[M Ciesielski]

1. Przedział nie zawiera się w liczbie, tylko liczba w przedziale.
2. Wzór znasz, wynik swój masz, raczej nikt nie będzie tego liczył za Ciebie, pokaż jak liczysz. Wtedy znajdziemy błąd.

[lolek900]

\(\displaystyle{ |V| = \pi \int\limits_{0}^{ \frac{ \pi }{7} }[sin(7x)]^{2} dx}\)
obliczam całkę:
\(\displaystyle{ \int sin^{2}(7x) \ dx}\)
za 7x podstawiam zmienną t i otrzymuję:
\(\displaystyle{ \frac{1}{7} \int sin^{2}t \ dt}\)
obliczam całkę:
\(\displaystyle{ \int sin^{2}t \ dt}\) przez części: z \(\displaystyle{ sin^{2}t}\) obliczam pochodną i mam: \(\displaystyle{ 2sint \cdot cost}\) z liczby 1 obliczam całkę i dostaję:
\(\displaystyle{ \int sin^{2}t \ dt = t \cdot sin^{2}t - \int t \cdot 2sint \cdot cost \ dt = t \cdot sin^{2}t - \int t \cdot sin2t \ dt}\)
obliczam teraz całkę:
\(\displaystyle{ \int t \cdot sin2t \ dt}\) przez podstawienie... za z podstawiam 2t i dostaję:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \int z \cdot sinz \ dz}\) obliczam znów przez części i mam ostatecznie:
\(\displaystyle{ -z \cdot cosz + sinz}\)

Po zebraniu wszystkich wyników razem:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{ \frac{ \pi }{7} } = x \cdot sin^{2} (7x) + \frac{1}{4} \cdot x \cdot cos(7x) - \frac{1}{28} sin(7x) = - \frac{ \pi }{28}}\)

Po podstawieniu do wzoru na objętość obliczonej całki otrzymuję wynik \(\displaystyle{ V = \frac{ \pi^{2}}{28}}\)

??

[M Ciesielski]

Całka jest źle obliczona. Zrób od razu przez części:

\(\displaystyle{ u = \sin 7x \ \mbox{d}v = \sin 7x \mbox{d}x}\)

Dojdziesz do takiej samej całki, lecz otrzymasz cosinus podniesiony do kwadratu. Wtedy stronami dodajesz wyjściową całkę otrzymując po prawej jedynkę trygonometryczną. Wtedy dzielisz stronami przez 2.

ed: Po drugim podstawieniu (z) wróciłeś od razu do pierwszego omijając powrót to zmiennej t, a potem dopiero do x.