Jak z definicji całki oznaczonej uzasadnić równość
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left[\frac{1}{n}\ln\frac{(1+n)(2+n)\cdots (n+n)}{n^n}\right] =\ln 4-1}\)
?
Granica a całka oznaczona Riemanna
-
Wasilewski
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Granica a całka oznaczona Riemanna
Zauważ, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \cdot ln \left( \frac{1}{n^{n}} \prod_{k=1}^{n} (k+n)\right) = \frac{1}{n} \cdot ln\left( \prod_{k=1}^{n} (1+ \frac{k}{n}) \right) = \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^{n} ln(1+\frac{k}{n})}\).
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \cdot ln \left( \frac{1}{n^{n}} \prod_{k=1}^{n} (k+n)\right) = \frac{1}{n} \cdot ln\left( \prod_{k=1}^{n} (1+ \frac{k}{n}) \right) = \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^{n} ln(1+\frac{k}{n})}\).