obliczyc objetosc bryly:

[johanneskate]

powstałej przez obrót: \(\displaystyle{ y^2=2px}\)wokół osi OX.

-- 23 sty 2010, o 13:51 --

x jest w przedziale miedzy 0 i a:)-- 23 sty 2010, o 13:59 --to już potrafię zrobić;). łatwe było... coś trudniejszego napotkałem:
również objętość i również obrót wokół prostej OX, dla \(\displaystyle{ 0 \le x \le b \le 2a}\)funkcja ma postać:\(\displaystyle{ (2a-x)y^2=x^3}\)

[coder89]

ZObacz jak to ładnie wygląda np. dla a=1.
... F%282-x%29

Musisz więc obrócić to na przedziale [0;b] gdzie b < 2a (żeby nie dzielić przez 0 przypadkiem )
Wykorzystujesz wzór na obrót wykresu wokół OX i dalej już z górki

\(\displaystyle{ \int_{0}^{b} \frac{x^3}{(2a-x)} dx}\) = ...

I liczysz jak zwykłą całkę wymierną...

[johanneskate]

czyli jedynie przekształcam równanie do takie postaci? tj wyliczma y^2?i to byl jedyny tu problem..?

[coder89]

żeby obliczyć objętość musisz wykres obrócić wokół osi oX.

Wyobraź sobie teraz że objętość to nieskończona suma takich cieniutkich plasterków tej bryły. każdy plasterek ma powierzchnię równą \(\displaystyle{ \Pi r^2}\) a naszym r jest tutaj y.

W tym zadaniu wykres (nie funkcja bo to funkcją nie jest!) jest symetryczny względem osi OX więc możemy to spierwiastkować i obracać tylko dodatnią część wykresu (tą ponad osią OX) - teraz mamy już funkcję

No więc skoro mamy już \(\displaystyle{ f(x) = \frac{sqrt(x^3)}{sqrt(2a-x)}}\) to wykorzystujemy wzór na objętość bryły obrotowej wokół OX.

i ot cała trudność.

Jeśli mogę cokolwiek doradzić to radzę w tego typu zadaniach starać się gdzieś na brudno naszkicować sobie wykres funkcji. Bardzo to pomaga w wybraniu odpowiedniej całki.

[johanneskate]

ale trudno naszkicować wykres podobnego typu bez zbadania przebiegu zmienności funkcji..

[zati61]

ZObacz jak to ładnie wygląda np. dla a=1.
... F%282-x%29
Wykorzystujesz wzór na obrót wykresu wokół OX
\(\displaystyle{ \int_{0}^{b} \frac{x^3}{(2a-x)} dx}\) = ...

możemy korzystać. ale poprawnie
\(\displaystyle{ \pi \int_{0}^{b} \frac{x^3}{(2a-x)} dx}\)