Objętość bryly ograniczonej powierzchniami

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
ja89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 19 paź 2008, o 09:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka
Podziękował: 1 raz

Objętość bryly ograniczonej powierzchniami

Post autor: ja89 »

Oblicz objetość bryły ograniczonej powierzchniami:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=R^2}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2=Rx}\)
Wiem jak wygląda ta bryła i ze należy obliczyć całke potrójna,ale mam problem z określeniem jak zmieniają się x,y,z .
Wydaje mi się że \(\displaystyle{ 0\le y \le R}\)
a x i z beda zmieniać sie wewnatrz paraboly \(\displaystyle{ z^2=R^2-Rx}\)
Czy dobrze myśle?
Prosze o pomoc
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Objętość bryly ograniczonej powierzchniami

Post autor: Chromosom »

Przede wszystkim wykonaj rysunek, jest to bardzo pomocne w tego typu zadaniach. Po przekształceniu równania powierzchni widać, że jest to walec:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=Rx\Leftrightarrow \left(x-\frac{R}{2}\right)^2+y^2=\left(\frac{R}{2}\right)^2}\)
Bryła jest ograniczona od góry powierzchnią \(\displaystyle{ z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}}\) oraz od dołu \(\displaystyle{ z=-\sqrt{R^2-x^2-y^2}}\) (łatwo to zobaczysz na rysunku), rzut bryły na płaszczyznę Oxy (oznaczmy go jako obszar D) ograniczony jest od strony dodatniego zwrotu osi Oy krzywą
\(\displaystyle{ y=\sqrt{\left(\frac{R}{2}\right)^2-\left(x-\frac{R}{2}\right)^2}}\)
od strony przeciwnej krzywą
\(\displaystyle{ y=-\sqrt{\left(\frac{R}{2}\right)^2-\left(x-\frac{R}{2}\right)^2}}\)
natomiast rzut obszaru D na oś Ox rozciąga się w granicach \(\displaystyle{ 0\le x\le R}\). Gdybyś chciał obszar D rzutować najpierw na oś Ox, i dopiero potem na oś Oy, to y spełniałoby nierówności \(\displaystyle{ -\frac{R}{2}\le y\le\frac{R}{2}}\). Potem możesz przejść na współrzędne sferyczne, zakresy zmienności nowych zmiennych nie są trudne do wyznaczenia; gdybyś jednak miał z tym problemy, pytaj.
ja89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 19 paź 2008, o 09:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka
Podziękował: 1 raz

Objętość bryly ograniczonej powierzchniami

Post autor: ja89 »

no tak rzeczywiście. Dziękuje.
Mam jednak jeszcze pytanie odnosnie zakresu zmiennosci nowych zmiennych. Jeśli przechodze na wspolrzedne sferyczne:
\(\displaystyle{ x=r cos(u) cos(v)}\)
\(\displaystyle{ y=r cos(u) sin(v)}\)
\(\displaystyle{ z=r sin(u)}\)
to \(\displaystyle{ 0\le r \le R}\)

\(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2} \le u \le \frac{\pi}{2}}\)

\(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2} \le v \le \frac{\pi}{2}}\)
??
jak to jest z odczytaniem tych nowych zmiennych ?
czy zmiennosc v odczytuje sie na podstawie tego ,w ktorych cwiartkach na plaszczyznie osi Oxy zmieniaja sie xi y,
a v na podstawie tego w ktorej cwiartce na plaszczyznie Oxz zmienia sie z?
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Objętość bryly ograniczonej powierzchniami

Post autor: Chromosom »

Teraz widzę, że mój pomysł z zamianą współrzędnych na sferyczne nie był najlepszy - znacznie prościej można to zadanie rozwiązać w walcowych:
\(\displaystyle{ x=\rho\cos\phi\\ y=\rho\sin\phi\\ z=z\\ |J|=r}\)
można by rozważyć też współrzędne z przesunięciem, ale intuicyjnie widać, że mniej obliczeń będzie przy obecnej postaci. Zamieniając równania
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\le R^2\\ x^2+y^2\le Rx}\)
według podanych zależności, mamy granice zmienności obszarów w nowych współrzędnych (wszystko to można bardzo łatwo zobaczyć na rysunku):
\(\displaystyle{ -\sqrt{R^2-\rho^2}\le z\le\sqrt{R^2-\rho^2}\\ 0\le \rho\le R\cos\phi\\ -\frac{\pi}{2}\le\phi\le\frac{\pi}{2}}\)
podstaw to teraz do całki.
ODPOWIEDZ