Matematyka.pl

\(\displaystyle{ P_{l}(t)=\frac{1}{2^{l}l!} \frac{d^{l}}{dt^{l}}(t^{2}-1)^{l}}\)
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} P_{l_{n}}(t)P_{l_{m}}(t)dt= \frac{2}{(2l+1)}*\frac{(l+m)!}{(l-m)!} \delta_{mn}}\)

Trzeba to scałkować...Wykazac, ze funkcje dołączone tworzą ciąg funkcji ortogonalnych.
m==n 0
m=n 1
-l<=m<=l
Czy ktoś wie jak to zrobić?? Pomoże ktoś... ?

Całość jest dość żmudna w rachunkach, a wyszukanie rozwiązania przy pomocy Google to kilka sekund: ... ostcount=9 .

Skad wzial sie trzeci wiersz? Co oznacza single a co quote...? Na tej stronie nie widac tego dowodu, jest 'zaciemniony' dostepna byla tylko instrukcja texa, ktora tu umiescilam... ale nie wiem skad wynikaja te przeksztalcenia... Czy zna ktos moze inna strone, albo ksiazke, gdzie mozna wyprowadzic?
ortogonalnosc wielomiany legendre'a... PROSZE to dla mnie bardzo wazne...
\(\displaystyle{ P_{l}^{m} (x) = (1-x^2 ) ^{\frac{m}{2}} \frac{d^m}{dx^m} P_l (x)}\)
\(\displaystyle{ P_l (x) = \frac{1}{2^l l!} \frac{d^l}{dx^l} (x^2 -1 )^l}\)
\(\displaystyle{ I = \int_{-1}^{+1} P_l^m (x) P_lsingle-quote^m (x) dx}\)
\(\displaystyle{ I = \int_{-1}^{+1} P_l^m (x) P_lsingle-quote^m (x) dx}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow I = \int_{-1}^{+1} (1-x^2)^{\frac{m}{2}} \frac{d^m}{dx^m} P_l(x) (1-x)^2}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow I = \int_{-1}^{+1} (1-x^2)^m \frac{d^m}{dx^m} P_l (x) \frac{d^m}{dx^m} P_lsingle-quote (x) dx}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow I = \int_{-1}^{+1} \left[(1-x^2)^m \frac{d^m}{dx^m} P_l (x) \right] \frac{d}{dx} \left[\frac{d^m-1}{dx^m-1} P_lsingle-quote (x)\right] dx}\)
\(\displaystyle{ I = \int_{a}^{b} u(x)vsingle-quote(x) dx}\)
\(\displaystyle{ I = \left[( 1-x^2 )^m \frac{d^m}{dx^m} P_l (x) \frac{d^m-1}{dx^m-1} P_lsingle-quote (x) \right]_{-1}^{+1} - \int_{-1}^{+1} \frac{d}{dx} \left[ (1-x^2 )^m \frac{d^m}{dx^m} P_l (x) \right] \frac{d}{dx} \left[ \frac{d^{m-2}}{dx^{m-2}} P_lsingle-quote (x) \right] dx}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow I = - \int_{-1}^{+1} \frac{d}{dx} \left[ ( 1-x^2 )^m \frac{d^m}{dx^m} P_l (x) \right] \frac{d}{dx} \left[ \frac{d^{m-2}}{dx^{m-2}} P_lsingle-quote (x) \right] dx}\)
\(\displaystyle{ I = (-1)^m \int_{-1}^{+1} \frac{d^m}{dx^m} \left[ ( 1 -x^2 )^m \frac{d^m}{dx^m} P_l (x) \right] P_lsingle-quote (x) dx}\)
\(\displaystyle{ P_l (x) = \frac{1}{2^l l!} \frac{d^l}{dx^l} (x^2 -1)^l}\)
\(\displaystyle{ (-1)^m \frac{1}{2^l l!} \frac{(2l)!}{l!} \frac{d^m}{dx^m} \left[ x^2m \frac{d^m}{dx^m} x^l \right]}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2^l l!} \frac{(2l)!}{l!} x^l}\)
\(\displaystyle{ (-1)^m \frac{1}{2^l l!} \frac{(2l)!}{l!} \frac{l!}{(l-m)!} \frac{(l+m)!}{l!} x^l}\)
\(\displaystyle{ = (-1)^m \frac{(l+m)!}{(l-m)!} P_l (x) + \cdots}\)
\(\displaystyle{ I = (-1)^m \int_{-1}^{+1} \frac{d^m}{dx^m} \left[ ( 1 -x^2 )^m \frac{d^m}{dx^m} P_l (x) \right] P_lsingle-quote (x) dx}\)
\(\displaystyle{ I=(-1)^{2m} \int_{-1}^{+1} \frac{(l+m)!}{(l-m)!} P_l (x) P_lsingle-quote (x) dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{+1} P_l (x) P_lsingle-quote (x) dx = \frac{2}{2l+1} \delta_{llsingle-quote}}\)
\(\displaystyle{ I = \int_{-1}^{+1} P_{l}^{m} (x) P_{lsingle-quote}^{m} (x) dx = \frac{2}{2l+1} \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \delta_{llsingle-quote}}\)