funkcja legendre'a

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
doreh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 7 sie 2009, o 14:55
Płeć: Kobieta
Podziękował: 29 razy

funkcja legendre'a

Post autor: doreh » 13 sty 2010, o 20:21

\(\displaystyle{ P_{l}(t)=\frac{1}{2^{l}l!} \frac{d^{l}}{dt^{l}}(t^{2}-1)^{l}}\)
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} P_{l_{n}}(t)P_{l_{m}}(t)dt= \frac{2}{(2l+1)}*\frac{(l+m)!}{(l-m)!} \delta_{mn}}\)

Trzeba to scałkować...Wykazac, ze funkcje dołączone tworzą ciąg funkcji ortogonalnych.
m==n 0
m=n 1
-l<=m<=l
Czy ktoś wie jak to zrobić?? Pomoże ktoś... ?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

funkcja legendre'a

Post autor: luka52 » 13 sty 2010, o 20:46

Całość jest dość żmudna w rachunkach, a wyszukanie rozwiązania przy pomocy Google to kilka sekund: http://www.physicsforums.com/showpost.p ... ostcount=9 .

doreh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 7 sie 2009, o 14:55
Płeć: Kobieta
Podziękował: 29 razy

funkcja legendre'a

Post autor: doreh » 14 sty 2010, o 15:22

Skad wzial sie trzeci wiersz? Co oznacza single a co quote...? Na tej stronie nie widac tego dowodu, jest 'zaciemniony' dostepna byla tylko instrukcja texa, ktora tu umiescilam... ale nie wiem skad wynikaja te przeksztalcenia... Czy zna ktos moze inna strone, albo ksiazke, gdzie mozna wyprowadzic?
ortogonalnosc wielomiany legendre'a... PROSZE to dla mnie bardzo wazne...
\(\displaystyle{ P_{l}^{m} (x) = (1-x^2 ) ^{\frac{m}{2}} \frac{d^m}{dx^m} P_l (x)}\)
\(\displaystyle{ P_l (x) = \frac{1}{2^l l!} \frac{d^l}{dx^l} (x^2 -1 )^l}\)
\(\displaystyle{ I = \int_{-1}^{+1} P_l^m (x) P_lsingle-quote^m (x) dx}\)
\(\displaystyle{ I = \int_{-1}^{+1} P_l^m (x) P_lsingle-quote^m (x) dx}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow I = \int_{-1}^{+1} (1-x^2)^{\frac{m}{2}} \frac{d^m}{dx^m} P_l(x) (1-x)^2}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow I = \int_{-1}^{+1} (1-x^2)^m \frac{d^m}{dx^m} P_l (x) \frac{d^m}{dx^m} P_lsingle-quote (x) dx}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow I = \int_{-1}^{+1} \left[(1-x^2)^m \frac{d^m}{dx^m} P_l (x) \right] \frac{d}{dx} \left[\frac{d^m-1}{dx^m-1} P_lsingle-quote (x)\right] dx}\)
\(\displaystyle{ I = \int_{a}^{b} u(x)vsingle-quote(x) dx}\)
\(\displaystyle{ I = \left[( 1-x^2 )^m \frac{d^m}{dx^m} P_l (x) \frac{d^m-1}{dx^m-1} P_lsingle-quote (x) \right]_{-1}^{+1} - \int_{-1}^{+1} \frac{d}{dx} \left[ (1-x^2 )^m \frac{d^m}{dx^m} P_l (x) \right] \frac{d}{dx} \left[ \frac{d^{m-2}}{dx^{m-2}} P_lsingle-quote (x) \right] dx}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow I = - \int_{-1}^{+1} \frac{d}{dx} \left[ ( 1-x^2 )^m \frac{d^m}{dx^m} P_l (x) \right] \frac{d}{dx} \left[ \frac{d^{m-2}}{dx^{m-2}} P_lsingle-quote (x) \right] dx}\)
\(\displaystyle{ I = (-1)^m \int_{-1}^{+1} \frac{d^m}{dx^m} \left[ ( 1 -x^2 )^m \frac{d^m}{dx^m} P_l (x) \right] P_lsingle-quote (x) dx}\)
\(\displaystyle{ P_l (x) = \frac{1}{2^l l!} \frac{d^l}{dx^l} (x^2 -1)^l}\)
\(\displaystyle{ (-1)^m \frac{1}{2^l l!} \frac{(2l)!}{l!} \frac{d^m}{dx^m} \left[ x^2m \frac{d^m}{dx^m} x^l \right]}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2^l l!} \frac{(2l)!}{l!} x^l}\)
\(\displaystyle{ (-1)^m \frac{1}{2^l l!} \frac{(2l)!}{l!} \frac{l!}{(l-m)!} \frac{(l+m)!}{l!} x^l}\)
\(\displaystyle{ = (-1)^m \frac{(l+m)!}{(l-m)!} P_l (x) + \cdots}\)
\(\displaystyle{ I = (-1)^m \int_{-1}^{+1} \frac{d^m}{dx^m} \left[ ( 1 -x^2 )^m \frac{d^m}{dx^m} P_l (x) \right] P_lsingle-quote (x) dx}\)
\(\displaystyle{ I=(-1)^{2m} \int_{-1}^{+1} \frac{(l+m)!}{(l-m)!} P_l (x) P_lsingle-quote (x) dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{+1} P_l (x) P_lsingle-quote (x) dx = \frac{2}{2l+1} \delta_{llsingle-quote}}\)
\(\displaystyle{ I = \int_{-1}^{+1} P_{l}^{m} (x) P_{lsingle-quote}^{m} (x) dx = \frac{2}{2l+1} \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \delta_{llsingle-quote}}\)

ODPOWIEDZ