Proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższej całki przez części:
\(\displaystyle{ \int \sqrt{x} lnxdx}\)
Dziękuje z góry!:)
Całka nieoznaczona
-
szatkus
- Użytkownik
- Posty: 231
- Rejestracja: 13 gru 2009, o 01:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zbąszynek
- Pomógł: 41 razy
Całka nieoznaczona
\(\displaystyle{ \int \sqrt{x} lnxdx = lnx*\frac{2}{3}*\sqrt{x}^3-\frac{2}{3}*\int \frac{1}{x}*\sqrt{x}^3}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{x} = \frac{2}{3}*\sqrt{x}^3}\)
więc
\(\displaystyle{ \int \sqrt{x} lnxdx = lnx*\frac{2}{3}*\sqrt{x}^3-\frac{4}{9}*\sqrt{x}^3}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{x} = \frac{2}{3}*\sqrt{x}^3}\)
więc
\(\displaystyle{ \int \sqrt{x} lnxdx = lnx*\frac{2}{3}*\sqrt{x}^3-\frac{4}{9}*\sqrt{x}^3}\)
-
pepis
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 13 gru 2007, o 16:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 53 razy
Całka nieoznaczona
\(\displaystyle{ \sqrt{x}=t \Rightarrow x=t^{2} \Rightarrow dx=2tdt \\ \\
I= \int t \cdot lnt^{2} \cdot 2tdt = 2\int t^{2} \cdot lnt^{2}dt \\ \\
u=lnt^{2} \Rightarrow u'= \frac{1}{t^{2}} \cdot 2t = \frac{2}{t} \\
v'=t^{2} \Rightarrow v= \frac{1}{3}t^{3} \\ \\
I=2 \cdot (\frac{1}{3}t^{3} \cdot lnt^{2}-\int \frac{1}{3} t^{3} \cdot \frac{2}{t} ) =\frac{2t^{3} \cdot lnt^{2}}{3}- \frac{4}{9}t^{3}= \frac{2}{3}t^{3} \cdot (lnt^{2}-\frac{2}{3})= \\ \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} \cdot (lnx-\frac{2}{3})}\)
I= \int t \cdot lnt^{2} \cdot 2tdt = 2\int t^{2} \cdot lnt^{2}dt \\ \\
u=lnt^{2} \Rightarrow u'= \frac{1}{t^{2}} \cdot 2t = \frac{2}{t} \\
v'=t^{2} \Rightarrow v= \frac{1}{3}t^{3} \\ \\
I=2 \cdot (\frac{1}{3}t^{3} \cdot lnt^{2}-\int \frac{1}{3} t^{3} \cdot \frac{2}{t} ) =\frac{2t^{3} \cdot lnt^{2}}{3}- \frac{4}{9}t^{3}= \frac{2}{3}t^{3} \cdot (lnt^{2}-\frac{2}{3})= \\ \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} \cdot (lnx-\frac{2}{3})}\)