Policz całkę

19Radek88 · Post autor: **19Radek88** » 9 gru 2009, o 15:19

Poproszę o rozwiązanie poniższych całek (wraz z obliczami).

1) \(\displaystyle{ \int \frac{x+1}{x ^{2} - x + 1 } \mbox{d}x}\)

2) \(\displaystyle{ \int sin3xcos2x \mbox{d}x}\)

pepis · Post autor: **pepis** » 9 gru 2009, o 16:15

\(\displaystyle{ \int \frac{x+1}{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}} \mbox{d}x \\
x-\frac{1}{2}=t \Rightarrow dx=dt \\
\int \frac{t+ \frac{3}{2}}{t^{2}+\frac{3}{4}}dt \\
\int \frac{4t+6}{4t^{2}+3}dt=\int \frac{4t}{4t^{2}+3}dt+\int \frac{6}{4t^{2}+3}dt...}\)

Jakbys nie dał rady dalej to pisz...

19Radek88 · Post autor: **19Radek88** » 9 gru 2009, o 16:58

Niestety ostatnią styczność z całkami mmiałem 1,5 roku temu, dlatego muszę poprosić o ciąg dalszy

meninio · Post autor: **meninio** » 9 gru 2009, o 17:14

Iloczyn funkcji trygonometrycznych pod całką należy zamienić wg stosownego wzoru na sumę funkcji trygonometrycznych i scałkować potem każdy ze składników.

A odnośnie pierwszego.
Pierwsza całka poprzez podstawienie a druga to procedura arcustangens.

19Radek88 · Post autor: **19Radek88** » 9 gru 2009, o 17:38

Chyba juz mi sie udalo, dzieki za pomooc

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 9 gru 2009, o 22:42

meninio pisze:Iloczyn funkcji trygonometrycznych pod całką należy zamienić wg stosownego wzoru na sumę funkcji trygonometrycznych i scałkować potem każdy ze składników.

A odnośnie pierwszego.
Pierwsza całka poprzez podstawienie a druga to procedura arcustangens.

Iloczyn funkcji trygonometrycznych pod całką wygodniej jest scałkować dwa razy przez części

meninio pisze: To chyba tylko dla ciebie....

Jest wygodniej ponieważ nie musisz pamiętać jak rozłożyć iloczyn na sumę
Jeżeli ty chcesz obciążać pamięć tożsamościami trygonometrycznymi to
twój wybór ale jeśli je zapomnisz to będzesz miał problem

\(\displaystyle{ \int sin3xcos2x \mbox{d}x}\)

\(\displaystyle{ \int sin3xcos2x \mbox{d}x= \frac{1}{2}\sin{2x}\sin{3x}- \frac{3}{2} \int{\sin{2x}\cos{3x} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ \int sin3xcos2x \mbox{d}x= \frac{1}{2}\sin{2x}\sin{3x}- \frac{3}{2} \left(- \frac{1}{2} \cos{2x}\cos{3x}- \frac{3}{2} \int{\cos{2x}\sin{3x} \mbox{d}x } \right)}\)

\(\displaystyle{ \int sin3xcos2x \mbox{d}x= \frac{1}{2}\sin{2x}\sin{3x}+ \frac{3}{4}\cos{2x}\cos{3x}+ \frac{9}{4} \int{\cos{2x}\sin{3x} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ - \frac{5}{4} \int sin3xcos2x \mbox{d}x= \frac{1}{2}\sin{2x}\sin{3x}+ \frac{3}{4}\cos{2x}\cos{3x}}\)

\(\displaystyle{ -5\int sin3xcos2x \mbox{d}x= 2\sin{2x}\sin{3x}+ 3\cos{2x}\cos{3x}}\)

\(\displaystyle{ \int sin3xcos2x \mbox{d}x=-\frac{1}{5} \left( 2\sin{2x}\sin{3x}+ 3\cos{2x}\cos{3x}\right)+C}\)

meninio · Post autor: **meninio** » 9 gru 2009, o 22:43

mariuszm pisze:
meninio pisze:Iloczyn funkcji trygonometrycznych pod całką należy zamienić wg stosownego wzoru na sumę funkcji trygonometrycznych i scałkować potem każdy ze składników.

A odnośnie pierwszego.
Pierwsza całka poprzez podstawienie a druga to procedura arcustangens.
Iloczyn funkcji trygonometrycznych pod całką wygodniej jest scałkować dwa razy przez części

To chyba tylko dla ciebie....

\(\displaystyle{ \int \sin 3x \cos 2x \mbox{d}x =\frac{1}{2}\int \left(\sin x+\sin 5x \right) \mbox{d}x =-\frac{1}{2}\cos x -\frac{1}{10}\cos 5x+C}\)

Oczywiście twoim sposobem jest szybciej i prościej...
Swoje subiektywne odczucia odnośnie liczenia całek zachowaj dla siebie, bo autor postu już napisał, że sobie poradził, więc twój głos jest zbędny.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 10 gru 2009, o 00:12

meninio pisze: \(\displaystyle{ \int \sin 3x \cos 2x \mbox{d}x =\frac{1}{2}\int \left(\sin x+\sin 5x \right) \mbox{d}x =-\frac{1}{2}\cos x -\frac{5}{2}\cos 5x+C}\)

I źle policzył

Jeżeli już to wynik powinien wyglądać tak

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}\cos{x}- \frac{1}{10}\cos{5x}+C}\)

meninio · Post autor: **meninio** » 10 gru 2009, o 18:10

mariuszm pisze: Jest wygodniej ponieważ nie musisz pamiętać jak rozłożyć iloczyn na sumę
Jeżeli ty chcesz obciążać pamięć tożsamościami trygonometrycznymi to
twój wybór ale jeśli je zapomnisz to będzesz miał problem.

Ja na pewno nie zapomnę.
Jeśli ty masz z tym problem to zachowaj go dla siebie albo idź z tym do terapeuty...
I nie życzę sobie żebyś głupio komentował moje posty i posty innych a to już trwa chyba od początku jak się pojawiłeś na forum. Więc najwyższy czas, żeby coś z tym zrobić.