obliczyć całki

[ja89]

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{1+cos(x^2)}dx}\)
oraz
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{1+(cosx)^2}dx}\)

[meninio]

Ad.1
Nieelementarna
Ad. 2
Po wykonaniu podstawienia \(\displaystyle{ t=\tg x}\) całka wejściowa sprowadza się do całki:

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{t^2+2} \mbox{d}t=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \left(\frac{t}{\sqrt{2}} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}} \right)+C}\)

[ja89]

ale jak doszłeś do tej całki ?

[meninio]

\(\displaystyle{ t=\tg x \Rightarrow t^2=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \Rightarrow \cos ^2 x = \frac{1}{t^2+1} \\ \\ x=\arctan t \Rightarrow \mbox{d}x =\frac{1}{t^2+1} \mbox{d}t}\)