Trzy fajne zadania z całki podwójnej

[dankon]

Proszę o pilną pomoc terminy gonią...
1. Oblicz pole powierzchni całkowitej \(\displaystyle{ 4=x^{2}+y^{2}+z^{2}}\) wyciętej przez \(\displaystyle{ z= \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)
2. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami \(\displaystyle{ 8=x^{2}+y^{2}+z^{2}}\), \(\displaystyle{ z= \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)
3. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami \(\displaystyle{ z=x^{2}+y^{2}}\) , \(\displaystyle{ z=1}\)

[Yaco_89]

2. Po podstawieniu do pierwszego równanie \(\displaystyle{ z= \sqrt{x ^{2}+y ^{2} }}\) szybko znajdujemy obszar całkowania - jest to okrąg \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}=4}\). Liczymy objętość obszaru ograniczonego z dołu przez \(\displaystyle{ z= \sqrt{x ^{2}+y ^{2} }}\), a z góry przez \(\displaystyle{ z= \sqrt{8-x ^{2}-y ^{2} }}\) czyli dostajemy całkę
\(\displaystyle{ \iint_{D}^{}(\sqrt{8-x ^{2}-y ^{2} }-\sqrt{x ^{2}+y ^{2} })dxdy}\), która po przejściu na współrzędne biegunowe przyjmuje postać
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{2}(r \sqrt{8-r ^{2} }-r ^{2})dr}\)

3. Liczymy objętość odcinka paraboloidy - obszarem całkowania znów będzie okrąg, tym razem \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}=1}\), powierzchnia ograniczająca z dołu daną bryłę to \(\displaystyle{ z=x ^{2}+y ^{2}}\) a z góry \(\displaystyle{ z=1}\), otrzymujemy
\(\displaystyle{ V=\iint_D( 1 -x ^{2}-y ^{2})dxdy}\)
i znów biegunowe:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}d\phi \int_{0}^{1}(1-r^2)rdr}\)

a w 1. chyba trzeba będzie całkę powierzchniową jeśli dobrze odczytuję treść...

[andrzej_kk]

Pierwsze da się policzyć z całki podwójnej:

Powierzchnie "zidentyfikujesz" podstawiając kolejno za x=0, y=0, z=0 i patrząc co przedstawiają równania, czyli np. dla pierwszego równania:

\(\displaystyle{ x=0 \Rightarrow y^2+z^2=4}\), czyli mamy koło o promieniu 2

Po podstawieniach wyjdzie nam:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=4}\) - kula o promieniu 2
\(\displaystyle{ z= \sqrt{x^2+y^2}}\) - górna część stożka obrotowego

obszar całkowania (ten pod krzywa, w której przecinają się powierzchnie) znajdziesz jak pokazał wyżej Yaco, czyli np.:

\(\displaystyle{ 4-x^2-y^2=x^2+y^2}\)
\(\displaystyle{ 2x^2+2y^2=4}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2=2}\)
i mamy koło o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)

Pole powierzchni całkowitej to suma pól stożka i kuli nad tym obszarem:

\(\displaystyle{ S= \int_{}^{} \int_{}^{} \sqrt{(f'_x)^2+(f'_y)^2+1}dxdy}\)

liczymy w/w dla każdej powierzchni (wsp. biegunowe) i sumujemy