Proszę o pomoc.
Obliczyc objętośc bryły ograniczonej od góry sferą \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=8}\)
a od dołu stożkiem\(\displaystyle{ z^2=x^2+y^2}\) dla \(\displaystyle{ z \ge 0}\)
Objętośc bryły
-
Springfield762
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 25 sie 2009, o 19:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 6 razy
-
andrzej_kk
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 13 gru 2008, o 16:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PolŚl
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 6 razy
Objętośc bryły
Obszar całkowania jest kołem, znajdującym się pod okręgiem, w którym stożek przecina się z kulą, znajdziemy go porównując równania powierzchni:
\(\displaystyle{ 8-x^2-y^2=x^2+y^2}\)
\(\displaystyle{ 2x^2+2y^2=8}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2=4}\)
Całka podwójna po obszarze jest objetością pod powierzchnią i nad obszarem
Czyli całkujemy sferę i stożek po w/w kole (odejmujemy, bo powierzchnia stożkowa jest dolną powierzchnią powstałej bryły):
\(\displaystyle{ V= \int_{}^{} \int_{}^{} \sqrt{8-x^2-y^2}dxdy- \int_{}^{} \int_{}^{} \sqrt{x^2+y^2}dxdy}\)
Następnie zamiana współrzędnych na biegunowe i mamy:
\(\displaystyle{ x=rcos(\theta)}\)
\(\displaystyle{ y=rsin(\theta)}\)
\(\displaystyle{ 0 \le r \le 2}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \theta \le 2\Pi}\)
\(\displaystyle{ |J|=r}\)
Po podstawieniu i uproszczeniu:
\(\displaystyle{ V= \int_{0}^{2\Pi}d\theta \int_{0}^{2} \sqrt{8-r^2}rdr - \int_{0}^{2\Pi}d\theta \int_{0}^{2} r^2dr}\)
edit:
Jeszcze wyniki:
-Objętość pod sterą:
-I pod stożkiem:
\(\displaystyle{ 8-x^2-y^2=x^2+y^2}\)
\(\displaystyle{ 2x^2+2y^2=8}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2=4}\)
Całka podwójna po obszarze jest objetością pod powierzchnią i nad obszarem
Czyli całkujemy sferę i stożek po w/w kole (odejmujemy, bo powierzchnia stożkowa jest dolną powierzchnią powstałej bryły):
\(\displaystyle{ V= \int_{}^{} \int_{}^{} \sqrt{8-x^2-y^2}dxdy- \int_{}^{} \int_{}^{} \sqrt{x^2+y^2}dxdy}\)
Następnie zamiana współrzędnych na biegunowe i mamy:
\(\displaystyle{ x=rcos(\theta)}\)
\(\displaystyle{ y=rsin(\theta)}\)
\(\displaystyle{ 0 \le r \le 2}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \theta \le 2\Pi}\)
\(\displaystyle{ |J|=r}\)
Po podstawieniu i uproszczeniu:
\(\displaystyle{ V= \int_{0}^{2\Pi}d\theta \int_{0}^{2} \sqrt{8-r^2}rdr - \int_{0}^{2\Pi}d\theta \int_{0}^{2} r^2dr}\)
edit:
Jeszcze wyniki:
-Objętość pod sterą:
Ukryta treść:
Ukryta treść:
-
Springfield762
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 25 sie 2009, o 19:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 6 razy
Objętośc bryły
Bardzo dziękuję, za pomoc. Prosił bym jeszcze o rozpisanie jak zamienic \(\displaystyle{ dxdy}\)na \(\displaystyle{ d\varphi dr}\)
Nie rozumiem również jak przeprowadzic całkowanie po dwóch miennych jak w funkcji podcałkowej nie ma elementu zawierającego \(\displaystyle{ \varphi}\) jest tylko r.
Nie rozumiem również jak przeprowadzic całkowanie po dwóch miennych jak w funkcji podcałkowej nie ma elementu zawierającego \(\displaystyle{ \varphi}\) jest tylko r.
-
andrzej_kk
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 13 gru 2008, o 16:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PolŚl
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 6 razy
Objętośc bryły
W zamianie na wsp. biegunowe nie ma już za bardzo co rozpisywać, poszukaj w internecie jakichś materiałów o tym (jest ich troche)
Jakobian przekształcenia - to już jest troche bardziej skomplikowane, jak nie wymagają na egzaminach - wystarczy zapamiętać , że dla w/w:
\(\displaystyle{ \left|J \right|=r}\)
Co do drugiego pytania:
\(\displaystyle{ \int_{}^{}d\theta \int_{}^{} f(r)dr}\)
Liczysz najpierw wewnętrzną całkę (całka oznaczona jest oczywiście liczbą, czyli podstawiasz też granice) i jest:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} F(r)d\theta}\)
i traktujesz F(r) jak stałą.
Jakobian przekształcenia - to już jest troche bardziej skomplikowane, jak nie wymagają na egzaminach - wystarczy zapamiętać , że dla w/w:
\(\displaystyle{ \left|J \right|=r}\)
Co do drugiego pytania:
\(\displaystyle{ \int_{}^{}d\theta \int_{}^{} f(r)dr}\)
Liczysz najpierw wewnętrzną całkę (całka oznaczona jest oczywiście liczbą, czyli podstawiasz też granice) i jest:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} F(r)d\theta}\)
i traktujesz F(r) jak stałą.
-
Springfield762
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 25 sie 2009, o 19:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 6 razy
Objętośc bryły
Dziękuję za pomoc.
Niestety całka mi inna wychodzi(ta pierwsza).
Podstawiam: \(\displaystyle{ t= \sqrt{8-r^2}}\), dalej wyliczam: \(\displaystyle{ r= \sqrt{8-t^2}}\) następnie
\(\displaystyle{ dr= \frac{-tdt}{ \sqrt{8-t^2} }}\) wychodzi \(\displaystyle{ -\int_{}^{} t^2dt}\)
więc wynik:\(\displaystyle{ - \frac{1}{3} x^3}\) więc ta całka wewnętrzna wychodzi mi:\(\displaystyle{ - \frac{8}{3}}\)
Więc jesli to liczba to wyciągam przed nawias i mam całkę z \(\displaystyle{ d\Phi}\) więc wynikiem tej całki jest \(\displaystyle{ \Phi}\) więc wynik końcowy: \(\displaystyle{ - \frac{8}{3} 2\pi}\)
Gdzie tu jest błąd? Proszę o pomoc.
Zapomniałem wrócic spowrotem na zmienną r już wszystko jasne. Dziękuję za pomoc.
Niestety całka mi inna wychodzi(ta pierwsza).
Podstawiam: \(\displaystyle{ t= \sqrt{8-r^2}}\), dalej wyliczam: \(\displaystyle{ r= \sqrt{8-t^2}}\) następnie
\(\displaystyle{ dr= \frac{-tdt}{ \sqrt{8-t^2} }}\) wychodzi \(\displaystyle{ -\int_{}^{} t^2dt}\)
więc wynik:\(\displaystyle{ - \frac{1}{3} x^3}\) więc ta całka wewnętrzna wychodzi mi:\(\displaystyle{ - \frac{8}{3}}\)
Więc jesli to liczba to wyciągam przed nawias i mam całkę z \(\displaystyle{ d\Phi}\) więc wynikiem tej całki jest \(\displaystyle{ \Phi}\) więc wynik końcowy: \(\displaystyle{ - \frac{8}{3} 2\pi}\)
Gdzie tu jest błąd? Proszę o pomoc.
Zapomniałem wrócic spowrotem na zmienną r już wszystko jasne. Dziękuję za pomoc.