Długość łuku - całka niewłaściwa

[andrzej_kk]

Cześć, wydaje mi się, że licze dobrą metodą, ale nie chce wychodzić:

Obliczyć długość łuku:
\(\displaystyle{ y=ln(1-x^2)}\)

\(\displaystyle{ 1-x^2 > 0}\)

stąd:
\(\displaystyle{ x \in (-1;1)}\)

\(\displaystyle{ y'= \frac{-2x}{1-x^2}}\)

\(\displaystyle{ L= \lim_{a \to 0} \int_{-1+a}^{b} \sqrt{ \frac{4x^2}{(1-x^2)^2 }+1}dx+ \lim_{a\to 0} \int_{b}^{1-a} \sqrt{ \frac{4x^2}{(1-x^2)^2 }+1}dx=...}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{ \frac{4x^2}{(1-x^2)^2 }+1}dx= \int_{}^{} \sqrt{ \frac{4x^2+1-2x^2+x^4}{(1-x^2)^2}}dx= \int_{}^{} \sqrt{ \frac{(x^2+1)^2}{(1-x^2)^2}dx }= \int_{}^{} \frac{x^2+1}{1-x^2}dx= \int_{}^{} \frac{-(1-x^2)+2}{1-x^2}= -x-2 \int_{}^{} \frac{1}{x^2-1} =...}\)

i z rozkładu na ułamki"

\(\displaystyle{ ...=ln( \frac{x+1}{x-1} )-x}\)

W granicy oba składniki wychodzą nieskończone, ale funkcja jest ciągła na przedziale, więc łuk musi mieć skończoną długość. Co robię źle?

Z góry dzięki, pozdrawiam

[Jaworekk]

Narysuj sobie funkcje:

\(\displaystyle{ y = ln(1 - x^{2})}\)

Przeciez w punktach x = -1 i x=1 wartosc y ucieka do \(\displaystyle{ -\infty}\) Na przedziale (-1 , 1) ma wiec dlugosc nieskonczona jak na moje oko

[fizmo]

1) \(\displaystyle{ a \rightarrow 0^+}\) bo musisz całkować w ramach dziedziny
2) To że funkcja ciągła na przedziale wcale nie znaczy ze bedzie miała zbieżną całkę, poniewaz jest nieograniczona może być albo że całka zbiega albo że nie
3) Zapomniałeś o module pod znakiem logarytmu
4) Nie chodzi przypadkiem o policzenie wartosci glownej tej calki? Wtedy calkujesz: \(\displaystyle{ \int_{a-1}^{1-a}}\)

[andrzej_kk]

Nie, chodzi o długość łuku, ale dzięki, wygląga że rzeczywiście jest nieskończona

[fizmo]

To ze chodzi o dlugosc luku wcale nie wyklucza ze trzeba policzyc wartosc glowna (dlugosci luku) - ta bowiem w glowie wychodzi mi skonczona.
Pozdro