Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań, na początek granice w oparciu o własnosci całki Riemanna:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{ 2^{ \frac{1}{n} } }{n+1} + \frac{ 2^{ \frac{2}{n} } }{n+ \frac{1}{2} }+...+ \frac{ 2^{ \frac{n}{n} } }{n+ \frac{1}{n} }\right)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ \sqrt[n]{n!} }{n}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} \frac{x \cdot sin x}{1+cos ^{2} x} dx}\)
całki Riemanna + całka oznaczona
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 11 gru 2008, o 14:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 2 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1958
- Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 361 razy
całki Riemanna + całka oznaczona
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ \sqrt[n]{n!} }{n}=
e^{\lim_{ n\to \infty }\frac{ \ln(\frac{1}{n}) +...+ln(\frac{1}{n}) }{n}}=
e^{ \int_{0}^{1}lnxdx }=
...}\)
e^{\lim_{ n\to \infty }\frac{ \ln(\frac{1}{n}) +...+ln(\frac{1}{n}) }{n}}=
e^{ \int_{0}^{1}lnxdx }=
...}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
całki Riemanna + całka oznaczona
Pierwsze:
\(\displaystyle{ \int_0^1 2^x \; \mbox d x \leftarrow \sum_i \frac{2^{\frac{i}{n}}}{n} \frac{n}{n+1} \le \sum_i \frac{2^{\frac{i}{n}}}{n + \frac{1}{i}} \le \sum_i \frac{2^{\frac{i}{n}}}{n} \to \int_0^1 2^x \; \mbox d x}\)
Ostatni przykład można też rozwiązać korzystając z lematu: \(\displaystyle{ \int_0^\pi x f( \sin x ) \; \mbox d x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f( \sin x)\; \mbox d x}\) (dowód chociażby tu: 100548.htm ) rozważając: \(\displaystyle{ f( \sin x ) = \frac{\sin x }{ 2 - \sin^2 x}}\).
\(\displaystyle{ \int_0^1 2^x \; \mbox d x \leftarrow \sum_i \frac{2^{\frac{i}{n}}}{n} \frac{n}{n+1} \le \sum_i \frac{2^{\frac{i}{n}}}{n + \frac{1}{i}} \le \sum_i \frac{2^{\frac{i}{n}}}{n} \to \int_0^1 2^x \; \mbox d x}\)
Ostatni przykład można też rozwiązać korzystając z lematu: \(\displaystyle{ \int_0^\pi x f( \sin x ) \; \mbox d x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f( \sin x)\; \mbox d x}\) (dowód chociażby tu: 100548.htm ) rozważając: \(\displaystyle{ f( \sin x ) = \frac{\sin x }{ 2 - \sin^2 x}}\).