Objetosc bryly ogranicznej stozkiem obrotowym i walcem

[Giewond]

Witam!
Mam problem z obliczeniem obietosci:
\(\displaystyle{ z^2=x^2+y^2}\) i \(\displaystyle{ x^2+(y-1)^2=1}\)
dzieki z gory i pozdrawiam

[meninio]

Pierwsza powierzchnia to powierzchnia stożkowa, która składa się z dwóch powierzchni stożkowych o równaniach \(\displaystyle{ z_1=\sqrt{x^2+y^2}}\) oraz \(\displaystyle{ z_2=-\sqrt{x^2+y^2}}\), natomiast druga to walec. Więc:

\(\displaystyle{ V=\iint \limits_D \left(z_1-z_2 \right) \mbox{d}x \mbox{d}y=2 \iint \limits_D \sqrt{x^2+y^2} \mbox{d}x \mbox{d}y}\)

Natomiast obszar całkowania \(\displaystyle{ D}\) to koło o środku w punkcie \(\displaystyle{ \left(0,1 \right)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\).

Więc przechodzimy na współrzędne biegunowe:

\(\displaystyle{ D \rightarrow \Delta :\begin{cases} x=r\cos \phi \\ y=r\sin \phi \\ 0 \le \phi \le 2\pi \\|J|=r \end{cases}}\)

Wtedy całka wygląda tak: \(\displaystyle{ V=2\iint \limits_{\Delta} r^2 \mbox{d}r \mbox{d}\phi}\)

A obszar całkowania:

\(\displaystyle{ r^2\cos^2\phi +(r\sin \phi-1)^2=1 \\ \\ r^2-2r\sin \phi=0 \\ \\ r=0 \vee r=2\sin \phi}\)

Ostatecznie:

\(\displaystyle{ V=2\int \limits_0^{2\pi} \mbox{d}\phi \int \limits_0^{2\sin \phi}r^2 \mbox{d}r=\ldots}\)

Pozostawiam tobie to do policzenia...