Całki dla smakoszy

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Całki dla smakoszy

Post autor: Premislav »

Bravissimo! Wynik na pewno dobry.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Całki dla smakoszy

Post autor: arek1357 »

Dzięki ale nie mam pomysłu na jakąś całkę i tak wyszłoby, że dla pałkoszy...

Są wakacje trzeba jechać tu i tam a nie głowę zawracać na forum...
stuart clark
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 21 sty 2011, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Całki dla smakoszy

Post autor: stuart clark »

\(\displaystyle{ \displaystyle \int\frac{\sin x}{1+\sin x+\sin 2x}dx}\)
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Całki dla smakoszy

Post autor: arek1357 »

\(\displaystyle{ \int \frac{\sin x}{1+\sin x + \sin 2x} dx =4\int \frac{t}{t^4-2t^3+2t^2+6t+1}dt }\)

po standardowych podstawieniach:

\(\displaystyle{ \sin x=\frac{2t}{1+t^2} , \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} , dx=\frac{2}{1+t^2}dt }\)

Teraz zabawa z funkcjami wymiernymi...
stuart clark
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 21 sty 2011, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Całki dla smakoszy

Post autor: stuart clark »

Thanks arek1357

\(\displaystyle{ \int\frac{(x^2+x+1)^3}{\sqrt{1-x^2}}dx}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Całki dla smakoszy

Post autor: Premislav »

\(\displaystyle{ \int\frac{(x^2+x+1)^3}{\sqrt{1-x^2}}dx=\left|\begin{array}{ccc}\sqrt{1-x^{2}}=xt+1\\x=-\frac{2t}{t^{2}+1}\\\mbox{d}x =\frac{2\left(t^{2}-1\right)}{(t^{2}+1)^{2}}\mbox{d} t \end{array}\right|=\int \frac{\left( \frac{4t^{2}}{(t^{2}+1)^{2}}-\frac{2t}{1+t^{2}}+1\right)^{3}}{1-\frac{2t^{2}}{t^{2}+1}}\cdot \frac{2(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}\mbox{d}t}\)
i mamy całkę z funkcji wymiernej…

Akurat tutaj prawdopodobnie lepiej pracuje podstawienie \(\displaystyle{ x=\sin \theta, \ \mbox{d}x=\cos \theta \ \mbox{d} \theta}\), potem trochę trygonometrii, typu \(\displaystyle{ \sin^{3}\theta=\frac{3}{4}\sin \theta-\frac{1}{4}\sin(3\theta)}\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Całki dla smakoszy

Post autor: a4karo »

To chyba prościej poszukać rozwiązania w postaci
$$\int\frac{(x^2+x+1)^3}{\sqrt{1-x^2}}dx=W(x)\sqrt{1-x^2}+\int\frac{Ax+B}{\sqrt{1-x^2}}dx,$$
gdzie \(\displaystyle{ W}\) jest wielomianem stopnia 5. Dostaje się układ (prosty) siedmiu równań liniowych z siedmioma niewiadomymi
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Całki dla smakoszy

Post autor: arek1357 »

Dostaje się układ (prosty) siedmiu równań liniowych z siedmioma niewiadomymi
Toż to horror jakie proste?
stuart clark
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 21 sty 2011, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Całki dla smakoszy

Post autor: stuart clark »

Premislav pisze: 3 paź 2019, o 17:21 \(\displaystyle{ \int\frac{(x^2+x+1)^3}{\sqrt{1-x^2}}dx=\left|\begin{array}{ccc}\sqrt{1-x^{2}}=xt+1\\x=-\frac{2t}{t^{2}+1}\\\mbox{d}x =\frac{2\left(t^{2}-1\right)}{(t^{2}+1)^{2}}\mbox{d} t \end{array}\right|=\int \frac{\left( \frac{4t^{2}}{(t^{2}+1)^{2}}-\frac{2t}{1+t^{2}}+1\right)^{3}}{1-\frac{2t^{2}}{t^{2}+1}}\cdot \frac{2(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}\mbox{d}t}\)
i mamy całkę z funkcji wymiernej…

Akurat tutaj prawdopodobnie lepiej pracuje podstawienie \(\displaystyle{ x=\sin \theta, \ \mbox{d}x=\cos \theta \ \mbox{d} \theta}\), potem trochę trygonometrii, typu \(\displaystyle{ \sin^{3}\theta=\frac{3}{4}\sin \theta-\frac{1}{4}\sin(3\theta)}\).
Thanks premislav and a4karo

\(\displaystyle{ \displaystyle I =\int \frac{(x^{2}+x+1)^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}}\ dx = \int \frac{x^{6}+3x^{5}+6x^{4}+7x^{3}+6x^{2}+3x+1}{\sqrt{1-x^{2}}}\ dx}\).

We use: \(\displaystyle{ \displaystyle I_{n}=\int \frac{x^{n}}{\sqrt{1-x^{2}}}\ dx = -\frac{1}{n}\sqrt{1-x^{2}}\cdot x^{n-1}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}}\).
Then

\(\displaystyle{ \displaystyle I = I_{6}+3I_{5}+6I_{4}+7I_{3}+6I_{2}+3I_{1}+I_{0}}\).

\(\displaystyle{ \displaystyle I = -\frac{1}{6}\sqrt{1-x^{2}}\cdot x^{5}+\frac{5}{6}I_{4}+3(-\frac{1}{5}\sqrt{1-x^{2}}\cdot x^{4}+\frac{4}{5}I_{3})+6I_{4}+7I_{3}+6I_{2}+3I_{1}+I_{0}}\).

\(\displaystyle{ \displaystyle I = -\sqrt{1-x^{2}}(\frac{x^{5}}{6}+\frac{3x^{4}}{5})+\frac{41}{6}I_{4} +\frac{47}{5}I_{3}+6I_{2}+3I_{1}+I_{0}}\).

\(\displaystyle{ \displaystyle I = -\sqrt{1-x^{2}}(\frac{x^{5}}{6}+\frac{3x^{4}}{5})+\frac{41}{6}(-\frac{1}{4}\sqrt{1-x^{2}}\cdot x^{3}+\frac{3}{4}I_{2}) +\frac{47}{5}(-\frac{1}{3}\sqrt{1-x^{2}}\cdot x^{2}+\frac{2}{3}I_{1})+6I_{2}+3I_{1}+I_{0}}\).

\(\displaystyle{ \displaystyle I = -\sqrt{1-x^{2}}(\frac{x^{5}}{6}+\frac{3x^{4}}{5}+\frac{41x^{3}}{24}+\frac{47x^{2}}{15})+\frac{89}{8}I_{2}+\frac{139}{15}I_{1}+I_{0}}\).

\(\displaystyle{ \displaystyle I = -\sqrt{1-x^{2}}(\frac{x^{5}}{6}+\frac{3x^{4}}{5}+\frac{41x^{3}}{24}+\frac{47x^{2}}{15})+\frac{89}{8}(-\frac{1}{2}\sqrt{1-x^{2}}\cdot x+\frac{1}{2}I_{0})+\frac{139}{15}(-\sqrt{1-x^{2}})+I_{0}}\).

\(\displaystyle{ \displaystyle I = -\sqrt{1-x^{2}}(\frac{x^{5}}{6}+\frac{3x^{4}}{5}+\frac{41x^{3}}{24}+\frac{47x^{2}}{15}+\frac{89x}{16}+\frac{139}{15})+\frac{105}{16}I_{0}}\).

\(\displaystyle{ \displaystyle I = -\sqrt{1-x^{2}}(\frac{x^{5}}{6}+\frac{3x^{4}}{5}+\frac{41x^{3}}{24}+\frac{47x^{2}}{15}+\frac{89x}{16}+\frac{139}{15})+\frac{105}{16} \arcsin x +C}\)

Dodano po 2 minutach 6 sekundach:
\(\displaystyle{ \displaystyle \int^{\infty}_{0}e^{-x}(\ln x)^2dx}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Całki dla smakoszy

Post autor: Premislav »

Niech \(\displaystyle{ I(a)=\int_{0}^{\infty}x^{a-1}e^{-x}\mbox{d}x}\) (funkcja \(\displaystyle{ \Gamma}\)). Mamy wówczas \(\displaystyle{ I''(a)=\int_{0}^{\infty}(\ln x)^{2}x^{a-1}e^{-x}\mbox{d}x}\).
To, co nas interesuje, to \(\displaystyle{ I''(1)}\).

Ze wzoru iloczynowego Weierstrassa mamy
\(\displaystyle{ \Gamma(a)=\frac{e^{-\gamma a}}{a}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{e^{\frac{a}{n}}}{1+\frac{a}{n}}}\)
Logarytmując to stronami, otrzymujemy
\(\displaystyle{ \ln \Gamma(a)=-\gamma a-\ln a+\sum_{n=1}^{\infty}\ln \left(\frac{e^{\frac{a}{n}}}{1+\frac{a}{n}}\right)\\=-\gamma a-\ln a+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a}{n}-\ln\left(1+\frac{a}{n}\right)\right)}\).
Różniczkujemy tę równość stronami (szereg w pewnym otoczeniu jedynki możemy zróżniczkować wyraz po wyrazie z tw. Weierstrassa o szeregach funkcyjnych) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{\Gamma'(a)}{\Gamma(a)}=-\gamma-\frac{1}{a}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+a}\right)}\).
Co teraz? Znowu różniczkujemy stronami, otrzymując równość
\(\displaystyle{ \frac{\Gamma(a)\Gamma''(a)-(\Gamma'(a))^{2}}{(\Gamma(a))^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+a)^{2}}}\).
Następnie podstawiamy w tej równości
\(\displaystyle{ a:=1}\) dostając
\(\displaystyle{ \frac{\Gamma(1)\Gamma''(1)-(\Gamma'(1))^{2}}{(\Gamma(1))^{2}}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}}=\frac{1}{1^{2}}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}}\)
Ponadto mamy \(\displaystyle{ \Gamma(1)=\int_{0}^{\infty}e^{-x}\mbox{d}x=1}\) oraz (poprzednie różniczkowanie)
\(\displaystyle{ \frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}=-\gamma-1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=-\gamma}\), więc ostatecznie
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}(\ln x)^{2}e^{-x}\mbox{d}x=\Gamma''(1)=\gamma^{2}+\frac{\pi^{2}}{6}}\).
stuart clark
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 21 sty 2011, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Całki dla smakoszy

Post autor: stuart clark »

Thanks Premislav. Can we solve it without gamma function?
Ostatnio zmieniony 4 lis 2019, o 14:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Całki dla smakoszy

Post autor: arek1357 »

calculate integral:

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } {n \choose x}dx }\)

\(\displaystyle{ {x \choose y} = \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(y+1)\Gamma(x-y+1)}}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Całki dla smakoszy

Post autor: Premislav »

Maybe we can, but:
1) I can't do this;
2) gamma function is just wonderful.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

arek1357, a co z dziedziną funkcji gamma? Coś takiego, jak \(\displaystyle{ \Gamma(-1)}\) (czy jakiegokolwiek argumentu o niedodatniej części rzeczywistej) na przykład nie ma sensu. Może chodziło o inne granice całkowania?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Całki dla smakoszy

Post autor: arek1357 »

Może warto coś z całkami niewłaściwymi...
stuart clark
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 21 sty 2011, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Całki dla smakoszy

Post autor: stuart clark »

Calculation of \(\displaystyle{ \displaystyle \int^{2}_{1}\frac{\sqrt{x^4+1}}{x^2}dx}\)
ODPOWIEDZ