Całki dla smakoszy

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

Całki dla smakoszy

Post autor: luka52 »

No to na rozruszanie, w nawiązaniu do siostrzanej całki z kosinusem, proszę obliczyć:
\(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{1 + x^2} \, \dd x}\)
Gdyby powyższa całka okazała się za prosta, to proszę pokazać, że:
\(\displaystyle{ \int_0^{1/e} \frac{W (x \ln x)}{x} \, \dd x = \frac{1}{2} - \frac{\pi^2}{6}\;,}\)
gdzie W() to funkcja W Lamberta.
dec1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 714
Rejestracja: 21 mar 2016, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 191 razy

Całki dla smakoszy

Post autor: dec1 »

1.:    
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

Całki dla smakoszy

Post autor: luka52 »

dec1, tak, choć preferowane jest rozwiązanie nie z tablic
dec1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 714
Rejestracja: 21 mar 2016, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 191 razy

Całki dla smakoszy

Post autor: dec1 »

Fajna ta całka z Lambertem, próbowałem coś popodstawiać ale się opiera. Źródło?
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

Całki dla smakoszy

Post autor: luka52 »

dec1, ... 06-002.pdf
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

Całki dla smakoszy

Post autor: luka52 »

Coś całeczki nie "pykły", może ta:
\(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} e^{-ax} \ln^2 x \, \dd x = \frac{1}{a} \left( \frac{\pi^2}{6} + (\gamma + \ln a)^2 \right)}\)
?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Całki dla smakoszy

Post autor: Premislav »

Ukryta treść:    
Rozwiązanie wymyśliłem sam, ale tych własności - uczciwie przyznaję - nie znałem, po prostu zorientowałem się, że tak to wychodzi z tymi pochodnymi, więc poszukałem jakichś ciekawych własności funkcji \(\displaystyle{ \Gamma}\), które by pomogły. Mile widziany bardziej elementarny sposób
luka52, masz link do jakiegoś sensownego rozwiązania tej całki z sinusem? Jeśli tak, to poproszę oń. Wrzucę to rozwiązanie małą czcionką na T-shirt i dam siostrze na gwiazdkę, żeby koleżanki przestały ją lubić.

Moje próby bardziej elementarnego zaatakowania tego problemu były długie i bezowocne - powtarzam, że w matematyce oczywiście istotny jest wkład pracy i efektywne metody takowej, ale przede wszystkim liczą się zdolności. Równość ludzi nie ma miejsca i wciskanie uporczywie tezy przeciwnej prowadzi do takich wynaturzeń, jak demokracja.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Całki dla smakoszy

Post autor: Premislav »

Teraz dopiero widzę, że tak bez żadnego komentarza zróżniczkowałem wyraz po wyrazie szereg funkcyjny. Przepraszam. Dzieci, nie róbcie tego w domu. Należy tu powołać się na tw. Weierstrassa (oczywiście nie to o aproksymacji wielomianami, tylko to z szeregiem funkcyjnym i funkcjami analitycznymi).
dec1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 714
Rejestracja: 21 mar 2016, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 191 razy

Całki dla smakoszy

Post autor: dec1 »

\(\displaystyle{ \int \cos^2 \mathrm{arccsc}\tg \mathrm{arcsec}\ctg \mathrm{arcsin} \sec \mathrm{arcctg}\csc \mathrm{arccos} \,x \,\mathrm d x}\)
Bonusowe punkty za uogólnienie wykładników

PS. ta całka wcale nie jest taka trudna na jaką wygląda
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Całki dla smakoszy

Post autor: NogaWeza »

Może jakaś podpowiedź, albo rozwiązanie?

Zadanie ode mnie.
Przedstawić w postaci szeregu potęgowego: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} x^x \dd x}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Całki dla smakoszy

Post autor: Premislav »

Mnie się Twoje zadanie od razu skojarzyło z tym:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Sophomore%27s_dream


Jak dla mnie to w postaci szeregu potęgowego można przedstawić najwyżej \(\displaystyle{ x^x}\), a nie całkę oznaczoną, która jest liczbą (albo jest rozbieżna), ale ja jestem głupi.
\(\displaystyle{ x^x=e^{x\ln x}= \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k \ln^k x}{k!}}\)
gdy \(\displaystyle{ |x\ln x|<1}\) i chyba z twierdzenia Abela wynika, że to paskudztwo (w sensie oznaczoną) można scałkować wyraz po wyrazie.
Ale pewnie nie o to chodziło. Wyjaśnij, proszę, co miałeś na myśli.

-- 24 lis 2016, o 22:38 --

O, nawet nie zauważyłem, że tam jest rozwiązanie, no beka ze mnie.
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Całki dla smakoszy

Post autor: NogaWeza »

O proszę, nie wiedziałem, że to ma swoją nazwę. Nie chodziło o szereg potęgowy oczywiście, ale rozwiązanie w postaci szeregu liczbowego, czyli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^n}}\).
No cóż, widzę, że smakoszy ciężko zaskoczyć
dec1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 714
Rejestracja: 21 mar 2016, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 191 razy

Całki dla smakoszy

Post autor: dec1 »

NogaWeza,

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Compositions_of_trig_and_inverse_trig_functions


Zatem
\(\displaystyle{ \int \cos^2 \mathrm{arccsc}\tg \mathrm{arcsec}\ctg \mathrm{arcsin} \sec \mathrm{arcctg}\csc \mathrm{arccos} \,x \,\mathrm d x=\int\frac{3x^2-5}{2x^2-3}\,\mathrm d x}\)
trolololo
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11264
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Całki dla smakoszy

Post autor: mol_ksiazkowy »

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{e^x +1}}}\)

Niech \(\displaystyle{ f(x)= \int_{x}^{\sqrt{x^2+1}} \sin(t^2) dt}\) ;obliczyć \(\displaystyle{ f^{\prime} (x)}\)

\(\displaystyle{ \int (2x^3+x) \arctg ^2 x \ dx}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Całki dla smakoszy

Post autor: Premislav »

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{e^x +1}}= \bigg|\sqrt{e^x+1}=t, \quad x=\ln(t^2-1), \quad \dd x= \frac{2t}{t^2-1}\,\dd t \bigg|=2 \int_{}^{} \frac{\dd t}{t^2-1}}\)
i dalej mamy bardzo łatwą całkę.
......................


\(\displaystyle{ f(x)= \int_{x}^{\sqrt{x^2+1}} \sin(t^2) \,\dd t}\)
Wówczas \(\displaystyle{ f'(x)= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \sin(x^2+1)-\sin x^2}\)
....................

\(\displaystyle{ \int (2x^3+x) \arctg ^2 x \,\dd x=\left( \frac 1 2 x^4+\frac 1 2 x^2\right) \arctan^2 x- \int_{}^{} \frac{x^4+x^2}{1+x^2} \arctan x \,\dd x=\\=\left( \frac 1 2 x^4+\frac 1 2 x^2\right) \arctan^2 x- \int_{}^{} x^2 \arctan x \,\dd x=\\=\left( \frac 1 2 x^4+\frac 1 2 x^2\right) \arctan^2 x-\frac 1 3 x^3 \arctan x+\frac 1 3 \int_{}^{} \frac{x^3}{1+x^2} \,\dd x}\)
i już łatwo.
Samo całkowanie przez części.

-- 21 sty 2017, o 16:14 --

luka52, pokaż proszę wreszcie, jak zrobić tę całkę:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{1+x^2} \,\dd x}\)
Rozwijałem w szereg, ale g. z tego wyszło. Potem próbowałem coś kombinować z analizą zespoloną, ale jak widać źle kombinowałem.
ODPOWIEDZ