Całki dla smakoszy

NogaWeza · Post autor: **NogaWeza** » 15 lut 2016, o 14:26

\(\displaystyle{ \int \frac{dx }{\sqrt[3]{1+ x^3}} = \int (1 + x^3)^{- \frac{1}{3}} \mbox{d}x}\)
To całka dwumienna, gdzie:
\(\displaystyle{ m =0 , \quad n=3 , \quad p = \frac{-1}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{m+1}{n} + p = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0 \in \mathbb{Z}}\)

\(\displaystyle{ t = \sqrt[3]{\frac{1 + x^3}{x^3}} = \frac{\sqrt[3]{1 + x^3}}{x}}\)

Wyliczamy \(\displaystyle{ x}\), po przekształceniach dostajemy \(\displaystyle{ x = \frac{1}{\sqrt[3]{t^3 - 1}}}\)

\(\displaystyle{ \mbox{d}x = \frac{-t^2 \mbox{d}t}{\sqrt[3]{t^3 - 1} (t^3 - 1)}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{1 + x^3} = tx = \frac{t}{\sqrt[3]{t^3 - 1}}}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{\mbox{d}x }{\sqrt[3]{1+ x^3}} = \int \frac{\sqrt[3]{t^3 - 1}}{t} \cdot \frac{-t^2 \mbox{d}t}{\sqrt[3]{t^3 - 1} (t^3 - 1)} = - \int \frac{t \mbox{d}t}{t^3 - 1} =}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{6} \ln{\frac{t^2 +t + 1}{(1-t)^2}} - \frac{\sqrt{3}}{3}\arctg{\frac{2t + 1}{\sqrt{3}}} + C}\), gdzie \(\displaystyle{ t = \frac{\sqrt[3]{1 + x^3}}{x}}\). Można sobie jeszcze uprościć, ale mi się nie chcę.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 15 lut 2016, o 17:23

Niestety to dalej są całki dla pałkoszy, kiedyś było parę fajnych, ale dziś prawdziwych całek już nie ma.

\(\displaystyle{ \int \frac{x^2 - 1}{ x \sqrt{x^4+3x^2+1}} dx= \int_{}^{} \frac{x}{ \sqrt{x^{4}+3x^{2}+1} }\mbox{d}x- \int_{}^{} \frac{x}{x^{2} \sqrt{x^4+3x^2+1}}\mbox{d}x}\)
W obydwu całkach stosujemy podstawienie \(\displaystyle{ t=x^{2}}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{dt}{ \sqrt{t^{2}+3t+1} }- \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{dt}{t \sqrt{t^{2}+3t+1} }}\)
a to się zwykle robi pierwszym podstawieniem Eulera:
\(\displaystyle{ \sqrt{t^{2}+3t+1}=u-t\\ t= \frac{u^{2}-1}{2u+3}\\ dt= \frac{2u^{2}+6u+2}{(2u+3)^{2}}}\)

i tego mi się nie chce liczyć. Choć to, że coś można policzyć na pałę, nie znaczy, że nie można tego zrobić sprytnie, jak ktoś ma elegancki sposób, to zachęcam, ale mnie to wygląda na typowe siermiężne rzemiosło.

luka52 · Post autor: **luka52** » 15 lut 2016, o 21:12

Być może coś bardziej ambitnego:

\(\displaystyle{ \int \frac{\dd x}{\left( \frac{x}{\arctan{x}} - 1 \right)^2}}\)

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 15 lut 2016, o 21:51

\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \mbox{d}x }{\left( \frac{x}{\arctan{x}}-1 \right)^2 } }\\
\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\left( \frac{x-\arctan{x}}{\arctan{x}} \right)^2 } }\\
\int{\frac{\arctan^{2}{x}}{\left( x-\arctan{x}\right)^2 } \mbox{d}x }\\
\int{\left( \arctan^{2}{x} \cdot \left( 1+\frac{1}{x^2}\right) \right) \cdot \frac{1}{\left( x-\arctan{x}\right)^2 } \cdot \frac{x^2}{1+x^2} \mbox{d}x }\\
=-\frac{\arctan^2{x}}{\left( x-\arctan{x}\right) }\left( 1+\frac{1}{x^2}\right)+\int{\left( \arctan^{2}{x} \cdot \left( - \frac{2}{x^3} \right) +2\arctan{x} \cdot \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{1+x^2}{x^2} \right) \frac{1}{x-\arctan{x}} \mbox{d}x } \\
=-\frac{\arctan^2{x}}{\left( x-\arctan{x}\right) }\left( 1+\frac{1}{x^2}\right)+2\int{\frac{\arctan{x}}{x^3} \cdot \frac{x-\arctan{x}}{x-\arctan{x}} \mbox{d}x }\\
=-\frac{\arctan^2{x}}{\left( x-\arctan{x}\right) }\left( 1+\frac{1}{x^2}\right)+2\int{\frac{\arctan{x}}{x^3} \mbox{d}x }\\
=-\frac{\arctan^2{x}}{\left( x-\arctan{x}\right) }\left( 1+\frac{1}{x^2}\right)+2\left( -\frac{\arctan{x}}{2x^2}+\frac{1}{2}\int{\frac{ \mbox{d}x }{x^2\left( 1+x^2\right) }}\right)\\
=-\frac{\arctan^2{x}}{\left( x-\arctan{x}\right) }\left( 1+\frac{1}{x^2}\right)+2\left( -\frac{\arctan{x}}{2x^2}+\frac{1}{2}\int{\frac{\left( 1+x^2\right)-x^2 \mbox{d}x }{x^2\left( 1+x^2\right) }}\right)\\
=-\frac{\arctan^2{x}}{\left( x-\arctan{x}\right) }\left( 1+\frac{1}{x^2}\right)+2\left( -\frac{\arctan{x}}{2x^2}+\frac{1}{2}\left( \int{\frac{ \mbox{d}x }{x^2}}-\int{ \frac{ \mbox{d}x }{1+x^2} }\right) \right)\\
=-\frac{\arctan^2{x}}{\left( x-\arctan{x}\right) }\left( 1+\frac{1}{x^2}\right)+2\left( -\frac{\arctan{x}}{2x^2}-\frac{1}{2}\left( \frac{1}{x}+\arctan{x}\right) \right)\\
-\frac{\arctan^2{x}}{\left( x-\arctan{x}\right) }\left( 1+\frac{1}{x^2}\right)-\frac{\arctan{x}}{x^2}-\frac{1}{x}-\arctan{x}+C\\
=-\frac{x\arctan{x}}{x-\arctan{x}}\left( 1+\frac{1}{x^2}\right) -\frac{1}{x}+C}\)

Tak myślałem że ta całka na forum już była
352909.htm

Obliczyć sumę szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{1}{\left( 2n+5\right)\left( 2n+7\right) }x^n}}\)
całkując szereg geometryczny i dobierając odpowiednie stałe całkowania

a4karo · Post autor: **a4karo** » 15 lut 2016, o 23:14

mariuszm pisze: Obliczyć sumę szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{1}{\left( 2n+5\right)\left( 2n+7\right) }x^n}}\)
całkując szereg geometryczny i dobierając odpowiednie stałe całkowania

wsk: \(\displaystyle{ \frac{1}{\left( 2n+5\right)\left( 2n+7\right) }=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}\right)}\)

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 15 lut 2016, o 23:22

Ja dwukrotnie całkowałem szereg geometryczny i przy drugim całkowaniu skorzystałem z
programu matematycznego
Wygląda na to że będzie mniej liczenia po rozłożeniu na sumę

Skoro już przy szeregach jesteśmy

Policz całkę

\(\displaystyle{ \int{\frac{1}{ \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-kx^2} } \mbox{d}x }}\)

z wykorzystaniem szeregu potęgowego

luka52 · Post autor: **luka52** » 16 lut 2016, o 20:47

Jaki jest sens takiej całki nieelementarnej?
... %7D+dx+%7D

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 16 lut 2016, o 21:04

No właśnie jak już nieelementarna to już nie liczycie nawet jeśli można znaleźć szereg
Ta całka pojawia się przy liczeniu długości elipsy
Teraz Wolfram nie podaje show steps więc dawanie do niego odnośników
nie ma sensu

Podczas rozwiązywania równań różniczkowych
albo liczenia długości pewnych krzywych oraz pola powierzchni bryły obrotowej
można znaleźć "całki dla smakoszy"

Straznik Teksasu · Post autor: **Straznik Teksasu** » 5 mar 2016, o 11:12

\(\displaystyle{ \int{ \frac{\cos((2n+1)x)-\cos(x)}{\sin(x)} \mbox{d}x }}\) , gdzie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_{+}}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 5 mar 2016, o 21:07

Znane jest takie zwinięcie (x jeszcze musi być odpowiedni, ale dajmy temu spokój):
\(\displaystyle{ \sin 2x+\sin 4x+...+\sin (2nx)= \frac{\sin x \sin 2x+...+\sin x \sin (2nx)}{\sin x}= \frac{\cos x-\cos((2n+1)x}{2\sin x}}\) - wynika ono ze wzorku
\(\displaystyle{ 2\sin x \sin y=\cos(x-y)-\cos(x+y)}\), który z kolei bierze się z cosinusa sumy (różnicy) lub różnicy cosinusów. Dalej widać, co z tym zrobić.

-- 5 mar 2016, o 21:10 --

Tzn. to może nie jest super ładny wynik, no ale w końcu dla każdego \(\displaystyle{ n}\) uzyskujemy w ten sposób skończoną sumę funkcji elementarnych, więc tak źle też nie jest.

A tak przy okazji, mariuszm, czy byłbyś tak uprzejmy i wrzucił ten szerek? [z naciskiem na "k"] Bo mnie wychodziły jakieś głupoty, pewnie od d. strony się do tego zabierałem.

sdamian · Post autor: **sdamian** » 5 mar 2016, o 21:21

\(\displaystyle{ \int\frac{2^x}{2^{x}+5^{x}}\text{d}x=...}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 5 mar 2016, o 21:24

No to znowu nie jest dla smakoszy. Dzielimy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 5^{x}}\), nastepnie podstawiamy \(\displaystyle{ t=\left( \frac 2 5\right)^{x}, dt= \ln\left(\frac 2 5\right)\left( \frac 2 5\right)^{x}dx}\) i dostajemy \(\displaystyle{ \left(\ln \frac 2 5 \right)^{-1}\ln\left( \left( \frac 2 5\right)^{x}+1 \right)+C}\)

Straznik Teksasu · Post autor: **Straznik Teksasu** » 5 mar 2016, o 21:48

Premislav własnie tak, a co do wyniku to jestem zdania, że należy on to tych ładniejszych \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{\cos(2kx)}{k}}\)

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 6 mar 2016, o 12:32

A tak przy okazji, mariuszm, czy byłbyś tak uprzejmy i wrzucił ten szerek? [z naciskiem na "k"] Bo mnie wychodziły jakieś głupoty, pewnie od d. strony się do tego zabierałem.

Z czego korzystałeś ?
Z wzoru Leibniza czy z iloczynu Cauchyego i dwumianu Newtona

Straznik Teksasu · Post autor: **Straznik Teksasu** » 16 mar 2016, o 07:23

\(\displaystyle{ \int \sin( \sqrt{1-x} )}\)