skomplikowana calka

[Giewond]

Witam mam do obliczenia calke gdzie h,c,t to stale:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{2 \Pi c^2 h}{x^5} \frac{1}{e ^{ \frac{hc}{xkt} } -1} dx}\)

[luka52]

Podejrzewam, że pierwotnie była to całka oznaczona, czyż nie?

[Giewond]

nie bo ja licze z widmowej zdolnosci emisyjnej Planca prawo Stefana -Boltzmana. wiec nie jest oznaczona

[Giewond]

to jest jakas jedna wielka masakra ale dziekuje bardzo.

[luka52]

Właściwie to można znacznie prościej. Chodziło mi głównie o to, by przekonać Cię, że należy rozważać tu całkę oznaczoną.

Do scałkownia jest \(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} \frac{2 h\nu^{3}}{c^2}\frac{1}{ e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} \; \mbox d \nu}\).

Czyli tak właściwie (po podstawieniach i pominięciu stałej przed całką):

\(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} \frac{x^3}{e^x - 1} \; \mbox dx = \int_0^{+\infty} x^3 \sum_{n=1}^{+\infty} e^{-nx} \; \mbox d x = \sum_{n=1}^{+\infty} \int_0^{+\infty} x^3 e^{-nx} \; \mbox d x \\ = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{6}{n^4} = 6 \, \zeta(4)}\)

Jak widać cały trik tkwi w rozpisaniu \(\displaystyle{ (e^x - 1)^{-1}}\) jako sumy nieskończonego ciągu geometrycznego.

[Giewond]

mozesz mi cos wiecej powiedziec o przejciu po podstawieniu do tej czesci z suma? nie rozwiazywalem nigdy takich calek wiec nie za bardzo sie moge polapac. po 2 nie wiem po co on tam w wiki robi 2 calke i z kad mu wychdozi to \(\displaystyle{ \pi}\) tam...