całka potrójna

[WISMAR89]

za pomocą całki potrójnej obliczyć objętość:
\(\displaystyle{ z= x^{2}+y^{2}}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2-x^{2}-y^2}}\)

wydaje mi sie ze \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}}\) trzeba zamienić na \(\displaystyle{ r^{2}}\)
granice ustaliłem na
\(\displaystyle{ 0\le\phi\le2\pi}\)
\(\displaystyle{ 0\le r\le\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ r^{2}\le z\le \sqrt{2- r^{2} }}\)


ale wychodzi mi ujemna objętość =/ Jak to trzeba zrobić i jaki powinien wyjść wynik?

[BettyBoo]

nie wiem dokładnie jak liczyłeś całkę, ale granica górna dla r to 1, bo z porównania dla z masz \(\displaystyle{ r^2=\sqrt{2-r^2}\ \Rightarrow \ r^4=2-r^2}\). Jakobian to r, więc ostatecznie \(\displaystyle{ V=2\pi\int_0^1(r\sqrt{2-r^2}-r^3)dr}\) i wychodzi dodatnie

Pozdrawiam.