Ułamek z cosinusem

[Harry Xin]

Oblicz całkę nieoznaczoną:

\(\displaystyle{ \int\frac{\mbox{d}x}{\cos x}}\)

[Wasilewski]

Może tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{cosx} = \frac{1}{sin(\frac{\pi}{2} + x)} = \frac{1}{2sin(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) cos (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})} = \frac{ \frac{1}{2cos^{2} (\frac{\pi}{4} +\frac{x}{2})}}{tg(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})} = \frac{\left(tg(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})\right)'}{tg(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})}}\)
Dalej już prosta droga do rozwiązania.

[Andreas]

A skąd się wzięło
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{2cos^{2} (\frac{\pi}{4} +\frac{x}{2})}}{tg(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})}}\)?

[Wasilewski]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2sint cost} = \frac{1}{2 \frac{sint}{cost} \cdot cos^{2}t} = \frac{1}{2cos^{2}t} \cdot \frac{1}{tgt} = \frac{\frac{1}{2cos^{2}t}}{tgt}}\)

[Mariusz M]

Oblicz całkę nieoznaczoną:

\(\displaystyle{ \int\frac{\mbox{d}x}{\cos x}}\)

\(\displaystyle{ t=\sin{x}}\)

\(\displaystyle{ dt=\cos{x}dx}\)

\(\displaystyle{ dx=\frac{dt}{\cos{x}}}\)

\(\displaystyle{ \int{ \frac{dt}{1-t^2} }= \int{ \frac{A}{1-t} dt}+ \int{ \frac{B}{1+t} dt}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}A+B=1 \\ A-B=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}2A=1 \\ A=B \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}A= \frac{1}{2} \\ A=B \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \int{ \frac{dt}{1-t^2} }= - \frac{1}{2} \int \frac{-1}{1-t} dt+ \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+t} dt}\)

\(\displaystyle{ \int{ \frac{dt}{1-t^2} }= - \frac{1}{2} \ln \left(1-t\right) + \frac{1}{2}\ln \left(1+t \right) }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+t}{1-t} \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}} \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ln \left( \frac{ \left( 1+\sin{x}\right)^2 }{\cos^{2}{x}} \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} *2*\ln \left( \frac{ 1+\sin{x} }{\cos{x}} \right)}\)

\(\displaystyle{ \ln \left( \frac{ 1+\sin{x} }{\cos{x}} \right)}\)

[meninio]

Może tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{cosx} = \frac{1}{sin(\frac{\pi}{2} + x)} = \frac{1}{2sin(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) cos (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})} = \frac{ \frac{1}{2cos^{2} (\frac{\pi}{4} +\frac{x}{2})}}{tg(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})} = \frac{\left(tg(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})\right)'}{tg(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})}}\)
Dalej już prosta droga do rozwiązania.

Po pierwszym równa się powinno być: \(\displaystyle{ \frac{1}{sin(\frac{\pi}{2} - x)}}\)

Choć oczywiście wynik będzie się tylko różnił znakiem...

[Wasilewski]

Nie mogę nie przyznać racji, choć tylko częściowo, gdyż:
\(\displaystyle{ sin (\frac{\pi}{2} - x) = sin (\frac{\pi}{2} +x)}\)
Zatem rozwiązanie jest w porządku.

[Mariusz M]

Jeśli ktoś lubi podstawienia Eulera to można zastosować pierwsze podstawienie Eulera
(na marginesie dziś 302 rocznica jego urodzin)

\(\displaystyle{ t=\tan{x}+ \sqrt{1+\tan^{2}{x}}}\)