Oblicz objetosc bryly powstalej w wyniku obrotu

[kolanko]

Witam

Prosiłbym o w miare dokladne opisanie czynnosci to jest zadanie dla kumpla ja jeszcze całek ani takich róznych nie mialem

Dane jest koło o rownaniu \(\displaystyle{ x^2+(y-b)^2 \le r^2}\)
\(\displaystyle{ r,b >0}\).
Oblicz rachunkiem całkowym objetosc bryly powstalej w wyniku jego obrotu wzgledem osi OX , bądz względem osi OY.

Dzieki

[bedbet]

\(\displaystyle{ r\geqslant b}\)?

[kolanko]

ze jak ? zmienilem zapis moze cos nie zrozumiales

[kolanko]

Powalczy ktos ?

[madziara]

Oblicz rachunkiem całkowym objetosc bryly powstalej w wyniku jego obrotu wzgledem osi OX , bądz względem osi OY.

Chyba jest różnica względem której osi obracasz, bo wyjdą inne bryły. Chyba, że chcesz obliczyć objętość obydwu?

[kolanko]

Obydwu ...

[madziara]

obracając koło dookoła osi OY otrzymamy kólę, a wokół OX torus.
Objętość torusa możemy obliczyć korzystając ze wzoru: \(\displaystyle{ V=\pi \int_{a}^{b}f^2(x)dx}\)
Rozwiązując równanie \(\displaystyle{ x^2+(y-b)^2=r^2}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ y= \sqrt{r^2-x^2} +b}\) lub \(\displaystyle{ y= -\sqrt{r^2-x^2}+b}\)
Musimy policzyć : \(\displaystyle{ 2\pi \int_{0}^{r} [(\sqrt{r^2-x^2} +b)^2-(-\sqrt{r^2-x^2}+b)^2]dx=8b\pi \int_{0}^{r} \sqrt{r^2-x^2}=2b\pi^2r^2}\)
Rozpisać jak policzyć tą całkę?

[kolanko]

Jeśli bys mogla bylbym dozgonnie wdzieczny:)

[madziara]

policzmy najpierw nieoznaczoną
\(\displaystyle{ \int \sqrt{r^2-x^2}dx= \int \frac{r^2-x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}dx=r^2 \int \frac{dx}{\sqrt{r^2-x^2}}- \int \frac{x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ r^2 \int \frac{dx}{\sqrt{r^2-x^2}}=\left\{\begin{array}{l}rt=x\\rdt=dx\end{array}\right\}=r^2 \int \frac{rdt}{ \sqrt{r^2-r^2t^2}}=r^2 \int \frac{dt}{ \sqrt{1-t^2} }=r^2\arcsin t+c=r^2\arcsin \frac{x}{r}+c}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \mbox{d}x=(ax+b)\sqrt{r^2-x^2}+K \int \frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{r^2-x^2}}}\)
liczymy pochodną obu stron równości
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}=a\sqrt{r^2-x^2}+\frac{-2x(ax+b)}{2\sqrt{r^2-x^2}}+ \frac{K}{\sqrt{r^2-x^2}}}\)
mnożymy przez \(\displaystyle{ \sqrt{r^2-x^2}}\)
\(\displaystyle{ x^2=a(r^2-x^2)-x(ax+b)+K}\)
z tego wyliczamy potrzebne nam współczynniki
\(\displaystyle{ a= -\frac{1}{2}, b=0, K= \frac{1}{2}r^2}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{x^2}{\sqrt{r^2-x^2}} \mbox{d}x=- \frac{1}{2}x\sqrt{r^2-x^2}+ \frac{1}{2} r^2 \int \frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{r^2-x^2}}=- \frac{1}{2}x\sqrt{r^2-x^2}+ \frac{1}{2}r^2 \arcsin \frac{x}{r}+c}\)
czyli
\(\displaystyle{ \int \sqrt{r^2-x^2}dx=r^2\arcsin \frac{x}{r}+\frac{1}{2}x\sqrt{r^2-x^2}- \frac{1}{2}r^2 \arcsin \frac{x}{r}+c= \frac{1}{2} r^2\arcsin \frac{x}{r}+\frac{1}{2}x\sqrt{r^2-x^2}+c}\)
wróćmy do całki oznaczonej
\(\displaystyle{ 8b\pi \int_{0}^{r} \sqrt{r^2-x^2}dx=8b\pi *\left[\frac{1}{2} r^2\arcsin \frac{x}{r}+\frac{1}{2}x\sqrt{r^2-x^2}\right]_{0}^{r}=2 \pi^2 r^2b}\)

[Kiepas]

A może ktoś podpowie jak obliczyć pole powierzchni torusa ?

[kolanko]

Wikipedia wie jak

[laser15]

Może ktoś powiedzieć skąd się przy liczeniu objętości wzięło \(\displaystyle{ 2\pi}\) przed całką?