obliczyć całkę

[Paulinka_xD]

Witam
Mam problem z policzeniem takiej oto całki:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2} \arctan(\frac{x}{2})dx}\)
z góry dziękuje za pomoc

[Wicio]

Przez części, za g'(x)=1

No i potem dostawić liczby tak byś miała w liczniku pochodną mianownika

[robson161]

można też spróbować podstawienie, a później ze wzoru z wikipedii, jednak wtedy musimy zmieniać granicę całkowania, i każdy do tego wzoru mógłby się przyczepić, także jak najbardziej przez części

[belferkaijuz]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2}\arctg\frac{x}{2}dx}\)
\(\displaystyle{ u=\arctg x \Rightarrow u'=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{4}}}\)
\(\displaystyle{ v'=1 \Rightarrow v=x}\)
\(\displaystyle{ x \cdot (\arctg\frac{x}{2})\Big|_0^2- \int_{0}^{2}\frac{2x}{4+x^2}=2 \cdot \arctg1-(\ln(4+x^2))\Big|_0^2\\2 \cdot \frac{\pi}{4}-(\ln5-\ln4)\\=\frac{\pi}{2}+\ln\frac{4}{5}}\)
sprawdź,czy w przekształceniach nie ma pomyłki
to rozwiązanie to "łyżka po obiedzie",ale wysyłam

[Paulinka_xD]

@belferkaijuz dziękuje za rozwiązanie widze gdzie popełniałam błąd jak próbowałam samodzielnie je rozwiązać...

a mam pytanie jakiej postaci będzie f'(x) gdy f(x) = arcsin(3x)?

[robson161]

podstaw \(\displaystyle{ {3x = t}}\) i z pochodnej funkcji wewnętrznej liczysz czyli
\(\displaystyle{ {(arcsint)'*(t)'}}\), czyli: \(\displaystyle{ {\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}}}\)
\(\displaystyle{ {(arcsinx)' = \frac{1}{ \sqrt{1- x^{2} } } }}\)

[Paulinka_xD]

czyli jeżeli wyliczyłam całkę tak:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1/6}\arcsin(3x)dx=[t=3x, dt=3dx]=\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1/2}\arcsin tdt=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}\)
to jest to poprawnie??

[robson161]

policzyłaś pochodną arcsin a nie całkę arcsin, całka jest inna
należy scałkować przez części tak jak belferkaijuz
masz arcsin(t) ale to nie masz liczyć pochodną tylko jej całkę ...
całka z arcsin jest na wikipedii, jednak zalecam zapoznanie się z całkowaniem przez części ponieważ przydaje się
https://matematyka.pl/33829.htm

[Paulinka_xD]

Czyli to ma wyglądać tak??
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1/6}\arcsin(3x)dx}\)
\(\displaystyle{ f(x)=\arcsin(3x), f'(x)=\frac{3}{\sqrt{1-9x^{2}}}, g'(x)=1, g(x)=x}\)
\(\displaystyle{ \arcsin(3x)*x^{1/6}_{0}-\int\limits_{0}^{1/6}\frac{3x}{\sqrt{1-9x^{2}}}=\frac{1}{6}\arcsin(\frac{1}{2})+3*\sqrt{1-9x^{2}}^{1/6}_{0}}\)

dobrze tak jest??

[robson161]

tam nie do 1/6 tylko normalnie x tylko z granicami
a tą drugą całkę to bym próbował jakimś podstawieniem
spróbuj podstawienie \(\displaystyle{ 1- 9x^{2} = t}\)
wydaję mi się że źle jest rozwiązane jeśli można to nazywać rozwiązaniem
widać że na wykładach się nie uważało i myślę że jeśli nie na wykładach to teraz się trzeba tego nauczyć ...

[Paulinka_xD]

tak tam jest x z tymi granicami...
w takim razie moge cię poprosić o wytłumaczenie poprawnego rozwiązania?? bo rozumeim to całkowanie poprzez części tylko na funkcjach trygonometrycznych i cyklomedycznych nie wiem jak je używać

[robson161]

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1/6}\frac{3x}{\sqrt{1-9x^{2}}}}\)
masz coś takiego
chyba najpierw musisz obliczyć tą całkę a nie od razu napisać wynik
\(\displaystyle{ 3*\sqrt{1-9x^{2}}^{1/6}_{0}}\) , który pojawił się z kosmosu spadł na ziemię a ty go znalazłaś, nie trzeba tą całkę po prostu wyliczyć
więc spróbuj ją obliczyć
jak masz problem to napisz do mnie na gg