dl luku kardioidy

gufox · Post autor: **gufox** » 19 mar 2009, o 11:42

oblicz dl luku kardioidy \(\displaystyle{ x=5cost(1+cost)}\), \(\displaystyle{ y=5sint(1+cost)}\) w przedziale \(\displaystyle{ 0 \le t \le 2 \pi}\)

obliczam:

\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=-5tsint-10sintcost}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dt}=5cost+5cos ^{2}t-5sin ^{2}t}\)

pytanie, jak to sensowniej zapisac aby pozniej nie miec problemow wstawiajac do wzoru

\(\displaystyle{ dL= \sqrt{ (\frac{dx}{dt}) ^{2} + (\frac{dy}{dt}) ^{2} }dt}\)

kuch2r · Post autor: **kuch2r** » 19 mar 2009, o 11:55

powinno być
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=-5\sin{t}-10\cos{t}\sin{t}}\)

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 19 mar 2009, o 11:57

\(\displaystyle{ \sin \left(2x \right)=2\cos{x}\sin{x}}\)

\(\displaystyle{ \cos \left(2x \right)=\cos^{2}{x}-\sin^{2}{x}}\)

Poza tym lepiej jest zastosować układ biegunowy aniżeli parametryczny

\(\displaystyle{ dx=-5 \left(\sin{t}-\sin{2t} \right)}\)

\(\displaystyle{ dy=5 \left(\cos{t}-\cos{2t} \right)}\)

\(\displaystyle{ dx^2=25 \left(\sin^{2}{t}-2\sin{t}\sin{2t}+\sin^{2}{2t} \right)}\)

\(\displaystyle{ dx^2=25 \left( \frac{1}{2} \left( 1-\cos{2t}\right) + \left(\cos{3t}-\cos{t} \right) + \frac{1}{2} \left(1-cos{4t} \right) \right)}\)

\(\displaystyle{ dy^2=25 \left(\cos^{2}{t}-2\cos{t}\cos{2t}+\cos^{2}{2t} \right)}\)

\(\displaystyle{ dy^2=25 \left( \frac{1}{2} \left( 1+\cos{2t}\right) - \left(\cos{3t}-\cos{t} \right) + \frac{1}{2} \left(1+cos{4t} \right) \right)}\)

\(\displaystyle{ dx^2+dy^2=25 \left( 2-2\cos{t}\right)}\)

\(\displaystyle{ dx^2+dy^2=100 \left( \frac{1-\cos{t}}{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ dx^2+dy^2=100 \sin^{2}{ \frac{t}{2} }}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{dx^2+dy^2} =10 \left| \sin{ \frac{t}{2} }\right|}\)

\(\displaystyle{ 10 \int_{0}^{2\pi} \left| \sin{ \frac{t}{2} }\right|}\)

\(\displaystyle{ -20 \left( cos{ \frac{t}{2} }|_{0}^{\pi}\right)}\)

\(\displaystyle{ -20 \left(-1-1\right)}\)

\(\displaystyle{ -20 \left(-2\right)}\)

\(\displaystyle{ 40}\)

gufox · Post autor: **gufox** » 19 mar 2009, o 11:58

kuch2r pisze:powinno być
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=-5\sin{t}-10\cos{t}\sin{t}}\)

dopisalem prze pomylke ale jakis pomysl czy jest wogole to senes przekszlatcac? w 1 moglbym wylaczyc 5 przed nawias i zwinac do sin2t ale czy to sie oplaca? :/

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 19 mar 2009, o 12:32

gufox pisze:
kuch2r pisze:powinno być
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=-5\sin{t}-10\cos{t}\sin{t}}\)
dopisalem prze pomylke ale jakis pomysl czy jest wogole to senes przekszlatcac? w 1 moglbym wylaczyc 5 przed nawias i zwinac do sin2t ale czy to sie oplaca? :/

Najlepiej to liczyć w ten sposób

\(\displaystyle{ \rho \left( \theta\right)=1+\cos{x}}\)

\(\displaystyle{ L=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{\rho \left( \theta\right)^{2}+\rho^{'} \left(\theta \right)^{2} }}\)

gufox · Post autor: **gufox** » 19 mar 2009, o 12:51

mam jeszcze problem z takim zdankiem, oblicz pole powierzchni bryly obrotowej dookola osi Ox.

\(\displaystyle{ y= \frac{1}{x-1},2 \le x \le 4}\)

obliczam

\(\displaystyle{ y'= \frac{-1}{(x-1) ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ (y') ^{2}= \frac{1}{(x-1) ^{4} }}\)

\(\displaystyle{ S=2\pi \int_{2}^{4} (\frac{1}{x-1} \sqrt{1+ \frac{1}{(x-1) ^{4} } }) dx}\)

nie bardzo wiem jak to dalej ugrysc

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 19 mar 2009, o 13:06

gufox pisze:mam jeszcze problem z takim zdankiem, oblicz pole powierzchni bryly obrotowej dookola osi Ox.

\(\displaystyle{ y= \frac{1}{x-1},2 \le x \le 4}\)

obliczam

\(\displaystyle{ y'= \frac{-1}{(x-1) ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ (y') ^{2}= \frac{1}{(x-1) ^{4} }}\)

\(\displaystyle{ S=2\pi \int_{2}^{4} (\frac{1}{x-1} \sqrt{1+ \frac{1}{(x-1) ^{4} } }) dx}\)

nie bardzo wiem jak to dalej ugrysc

Podstaw za cały pierwiastek

\(\displaystyle{ t^2=1+ \left(\frac{1}{x-1}\right)^4}\)

\(\displaystyle{ 2tdt=-4 \left( x-1\right)^{-5}dx}\)

\(\displaystyle{ tdt=-2 \left( x-1\right)^{-5}dx}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}t \left(x-1 \right)^{5}=dx}\)

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} \int{t^2} \left( x-1\right)^{4} dt}\)

\(\displaystyle{ \left( x-1\right)^{-4}=t^2-1}\)

\(\displaystyle{ \left( x-1\right)^{4}= \frac{1}{t^2-1}}\)

Otrzymujemy całkę

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} \int{ \frac{t^2}{t^2-1} }=}\)

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} \left( \int{1} +\int\frac{1}{t^2-1} \right) =}\)

gufox · Post autor: **gufox** » 19 mar 2009, o 13:17

no wlasnie nie bardzo to widze, calka z tego ma wyjsc \(\displaystyle{ \frac{-1}{x-1}}\)

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 19 mar 2009, o 13:39

gufox pisze:no wlasnie nie bardzo to widze, calka z tego ma wyjsc \(\displaystyle{ \frac{-1}{x-1}}\)

Dlaczego przecież całka z \(\displaystyle{ \frac{1}{ \left( x-1\right)^2 }}\) powinna dać ten wynik
Może w odpowiedzi jest błąd

Poza tym całka nie jest wyznaczona jednoznacznie

W tym przypadku całkowanie przez podstawienie daje wynik wyrażony za pomocą funkcji elementarnych
natomiast całkowanie przez części daje wynik wyrażony za pomocą całek eliptycznych

gufox · Post autor: **gufox** » 19 mar 2009, o 13:59

mariuszm pisze:
gufox pisze:no wlasnie nie bardzo to widze, calka z tego ma wyjsc \(\displaystyle{ \frac{-1}{x-1}}\)
Dlaczego przecież całka z \(\displaystyle{ \frac{1}{ \left( x-1\right)^2 }}\) powinna dać ten wynik
Może w odpowiedzi jest błąd

Jest to zadanie nr 20.85 z Krysickiego. A i sorki, teraz zauwazylem ze wynik jest do objetosci a nie do PP. Widocznie nie chcialo mi sie policzyc. Sorki.