Proszę o pomoc w obliczeniu objętosci bryły ograniczonej wykresami:
\(\displaystyle{ z^2=xy}\)
\(\displaystyle{ x+y=4}\)
\(\displaystyle{ x+y=6}\)
Objętość ograniczona wykresami
-
meninio
- Użytkownik
- Posty: 1876
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
Objętość ograniczona wykresami
Obszar jest symetryczny wokół płaszczyzny \(\displaystyle{ z=0}\), więc policzymy objętość tylko górnej połówki i wynik pomnożymy przez 2.
\(\displaystyle{ V=\int \limits_0^4\mbox{d}x \int \limits_{4-x}^{6-x}\sqrt{xy} \mbox{d}y+\int \limits_4^6 \mbox{d}x \int \limits_{0}^{6-x}\sqrt{xy} \mbox{d}y=\int \limits_0^4\mbox{d}x \left[ \frac{2}{3}\sqrt{xy^3}\right]_{4-x}^{6-x}+\int \limits_4^6 \mbox{d}x \left[ \frac{2}{3}\sqrt{xy^3}\right]_{0}^{6-x}= \\ \\ = \frac{2}{3} \left[\int \limits_0^4 \sqrt{x(6-x)^3} \mbox{d}x -\int \limits_0^4 \sqrt{x(4-x)^3} \mbox{d}x +\int \limits_4^6 \sqrt{x(6-x)^3}\right] = \\ \\ = \frac{2}{3} \left[\int \limits_0^6 \sqrt{x(6-x)^3} \mbox{d}x -\int \limits_0^4 \sqrt{x(4-x)^3} \mbox{d}x \right]=\ldots}\)
Tak wygląda ten obszar:
Obrazek wygasł
\(\displaystyle{ V=2\iint \limits_D z \mbox{d}x \mbox{d}y = 2\iint \limits_{D_1 \cup D_2}\sqrt{xy} \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
Obrazek wygasł\(\displaystyle{ V=\int \limits_0^4\mbox{d}x \int \limits_{4-x}^{6-x}\sqrt{xy} \mbox{d}y+\int \limits_4^6 \mbox{d}x \int \limits_{0}^{6-x}\sqrt{xy} \mbox{d}y=\int \limits_0^4\mbox{d}x \left[ \frac{2}{3}\sqrt{xy^3}\right]_{4-x}^{6-x}+\int \limits_4^6 \mbox{d}x \left[ \frac{2}{3}\sqrt{xy^3}\right]_{0}^{6-x}= \\ \\ = \frac{2}{3} \left[\int \limits_0^4 \sqrt{x(6-x)^3} \mbox{d}x -\int \limits_0^4 \sqrt{x(4-x)^3} \mbox{d}x +\int \limits_4^6 \sqrt{x(6-x)^3}\right] = \\ \\ = \frac{2}{3} \left[\int \limits_0^6 \sqrt{x(6-x)^3} \mbox{d}x -\int \limits_0^4 \sqrt{x(4-x)^3} \mbox{d}x \right]=\ldots}\)
Tak wygląda ten obszar:
Obrazek wygasł