Witam,
mam problem z następującą całką:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{ln2}\sqrt{{e^x}-1} dx}\)
w podpowiedzi mam \(\displaystyle{ e^x=t}\) ale niewiele mi to pomogło
Prawidłowa odpowiedź to podobno \(\displaystyle{ 2 - \frac {\pi}{2}}\)
Proszę o pomoc w rozwiązaniu.
całka oznaczona 0 do ln2 z podstawieniem
-
robson161
- Użytkownik
- Posty: 249
- Rejestracja: 18 sty 2009, o 19:10
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 20 razy
całka oznaczona 0 do ln2 z podstawieniem
\(\displaystyle{ \int \sqrt{{e^x}-1} dx}\)
\(\displaystyle{ { e^{x} = t}}\)
\(\displaystyle{ { e^{x}dx = dt}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac {e^x\sqrt{{t}-1} dx}{e^x}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac {\sqrt{{t}-1} dt}{t}}\)
\(\displaystyle{ { e^{x} = t}}\)
\(\displaystyle{ { e^{x}dx = dt}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac {e^x\sqrt{{t}-1} dx}{e^x}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac {\sqrt{{t}-1} dt}{t}}\)
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
całka oznaczona 0 do ln2 z podstawieniem
\(\displaystyle{ e^x=t}\)
\(\displaystyle{ tdx=dt}\)
\(\displaystyle{ dx= \frac{dt}{t}}\)
\(\displaystyle{ \int_{1}^{2} { \frac{ \sqrt{t-1} }{t} }}\)
Ja uważam że znacznie lepiej jest podstawić cały pierwiastek
\(\displaystyle{ \sqrt{e^x-1}=t}\)
\(\displaystyle{ \frac{e^x}{2t}dx=dt}\)
\(\displaystyle{ {e^x}dx=2tdt}\)
\(\displaystyle{ dx= \frac{2t}{e^x}dt}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}{ \frac{2t^2}{t^2+1} }=\int_{0}^{1}{ \frac{2t^2+2}{t^2+1} }-\int_{0}^{1}{ \frac{2}{t^2+1} }}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}{2}- \int_{0}^{1}{ \frac{2}{1+t^2} }}\)
\(\displaystyle{ 2t|_{0}^{1}-2\arctan{t}|_{0}^{1}}\)
No i wychodzi to co w odpowiedziach tylko ktoś dał Tobie błędną wskazówkę
\(\displaystyle{ tdx=dt}\)
\(\displaystyle{ dx= \frac{dt}{t}}\)
\(\displaystyle{ \int_{1}^{2} { \frac{ \sqrt{t-1} }{t} }}\)
Ja uważam że znacznie lepiej jest podstawić cały pierwiastek
\(\displaystyle{ \sqrt{e^x-1}=t}\)
\(\displaystyle{ \frac{e^x}{2t}dx=dt}\)
\(\displaystyle{ {e^x}dx=2tdt}\)
\(\displaystyle{ dx= \frac{2t}{e^x}dt}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}{ \frac{2t^2}{t^2+1} }=\int_{0}^{1}{ \frac{2t^2+2}{t^2+1} }-\int_{0}^{1}{ \frac{2}{t^2+1} }}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}{2}- \int_{0}^{1}{ \frac{2}{1+t^2} }}\)
\(\displaystyle{ 2t|_{0}^{1}-2\arctan{t}|_{0}^{1}}\)
No i wychodzi to co w odpowiedziach tylko ktoś dał Tobie błędną wskazówkę
Ostatnio zmieniony 18 mar 2009, o 14:14 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 1 raz.