Cztery całki - oznaczone i nieoznaczone

[badiron88]

Witam!

Sesja w toku, egzaminy za pasem, a ja tymczasem ugrzązłem nad matmą i jej fascynującymi całkami. Po przeliczeniu kilkudziesięciu człowiek ma już dość i zaczyna się mylić, jak w tych podanych poniżej.

Czy któryś z forumowiczów, czujący się jak ryba w wodzie w kwestii analizy, mógłby rozwiązać poniższe przykłady? Mile widziane wytłumaczenie krok po kroku


1) \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{e} ln(x+1) dx}\)

2) \(\displaystyle{ \int \frac{ \sqrt[5]{arcsinx} }{ \sqrt{1- x^{2} } } dx}\)

3) \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{2+cosx+2sinx}}\)

4) \(\displaystyle{ \int \frac{x(x+4)}{ x^{2}+4x+5 } dx}\)

[Piotrek89]

2.
podstawienie:

\(\displaystyle{ t=\arcsin x}\)
\(\displaystyle{ dt=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx}\)

\(\displaystyle{ =\int t^{\frac{1}{5}}dt =...}\)

dalej to już ze wzoru i powrót do zmiennej x

[gufox]

4) \(\displaystyle{ \int \frac{x(x+4)}{ x^{2}+4x+5 } dx}\)

\(\displaystyle{ ...=\int \frac{x ^{2}+4x+5-5 }{x ^{2}+4x+5 }= \int dx -5 \int \frac{dx}{(x+2) ^{2}+1 }=x-5arctg(x+2)+C}\)

[NomacK]

\(\displaystyle{ \int \limits_{0}^{e} ln(x+1) dx}\)

\(\displaystyle{ v=ln(x+1) \ \ \ \ u'=1}\)
\(\displaystyle{ v'=\frac{1}{x+1} \ \ \ \ \ \ \ \ u=x}\)

\(\displaystyle{ = \ xln(x+1)-\int\frac{x}{x+1}dx \ = \ xln(x+1)-\int\frac{x+1}{x+1}dx \ + \ \int\frac{1}{x+1}dx \ =}\)
\(\displaystyle{ = \ xln(x+1)-x \ + \ ln(x+1) \ |^{e}_{0}}\)

Dalej tylko podstawic.

[badiron88]

ad NomacK

Czy możesz wyjaśnić jak to wyrażenie podcałkowe rozbiłeś na sumę? Bo nie do końca to ogarniam

[NomacK]

\(\displaystyle{ =\int\frac{x}{x+1}dx \ = \ \int\frac{(x+1)-1}{x+1}dx \ = \ \int\frac{x+1}{x+1}dx - \int\frac{1}{x+1}dx}\)

Sorki, blad byl. Tej 2ki tam byc nie powinno.

//Juz poprawilem