Dwie całki nieoznaczone

[adamos22]

Witam, proszę o pomoc w obliczeniu dwóch całek

1) \(\displaystyle{ \int \frac{x^{2}}{5-x^{6}}dx}\)

2) \(\displaystyle{ \int \frac{ln(cosx)}{cos^{2}x}dx}\)

[setch]

1.
\(\displaystyle{ t=x^3\\
\frac13dt=x^2 \mbox{d}x \\
\frac13\int \frac{\mbox{d}t}{1-t^2}}\)
a to juz latwa calka wymierna

[adamos22]

Hmm, szczerze mówiąc spojrzałem na to rozwiązanie i w głowie pojawił się wzór na arctg, ale po chwili namysłu jednak dostrzegam że w mianowniku jest minus a nie plus, nie wiem też dlaczego w mianowniku wyszedł \(\displaystyle{ 1- t^{2}}\) - moim zdaniem ta 5 dalej zostanie, bo gdybyśmy podstawili za t całe \(\displaystyle{ 5-x^{6}}\) to OK, ale tutaj chyba się tak nie da.

Krótko mówiąc, jeśli mógłbym prosić o dalsze rozwiązanie, będą wdzięczny.

[setch]

masz racje tam powinno byc 5 tylko z rozpedu zapomnialem napisac
\(\displaystyle{ I=\int \frac{dt}{t^2-5}\\
\frac{A}{x-\sqrt{5}}+\frac{B}{x+\sqrt{5}}=\frac{Bx-\sqrt{5}B+Ax+\sqrt{5}A}{x^2-5}\\
\begin{cases} A+B=0 \\ \sqrt{5}(A-B)=1 \end{cases} \\
\begin{cases} A+B=0 \\ A-B=\frac{\sqrt{5}}{5} \end{cases} \\
\begin{cases} A=\frac{\sqrt{5}}{10} \\ B=-\frac{\sqrt{5}}{10} \end{cases} \\
I=\frac{\sqrt{5}}{10}\int \frac{dx}{x-\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{5}}{10}\int \frac{dx}{x+\sqrt{5}}=
\frac{\sqrt{5}}{10}\ln|x-\sqrt5|-\frac{\sqrt{5}}{10}\ln |x+\sqrt5|+C}\)

Musisz jeszcze wstawic minus przed ostateczne rozwiazanie.

[gufox]

2) \(\displaystyle{ \int \frac{ln(cosx)}{cos^{2}x}dx}\)

\(\displaystyle{ ...= \begin{cases} u=lncosx,u'=-tgx \\ v'= \frac{1}{cos ^{2} x} ,v=tgx \end{cases} =tgxln(cosx)+tgx-x+C}\)