Całki oznaczone

[rucio]

1. \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} arctg \sqrt{x} dx}\)
2. \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{dx}{x ^{3}+1 }}\)
z góry bogzaplac

[piotrek1718]

zad. 2.
Trochę roboty z tym jest.
Najpierw trzeba funckje podcałkową rozłożyc na ułamki poste:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x ^{3}+1 } = \frac{1}{(x+1)(x ^{2}-x+1) }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x+1)(x ^{2}-x+1) } = \frac{1}{3(x+1)} + \frac{- \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} }{x ^{2}-x+1 }}\)

czyli podana całka, to:
\(\displaystyle{ I _{1} = t \frac{1}{3(x+1)} dx+ t \frac{ -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} }{x ^{2}-x+1 }
dx = \frac{1}{3}ln ft|x+1 \right| - t \frac{ \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} }{x ^{2}-x+1 }dx}\)

Teraz ta ostatnia całka:
\(\displaystyle{ I _{2} = t \frac{ \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} }{x ^{2}-x+1 } dx= t \frac{ \frac{1}{6} (2x-1)- \frac{3}{6} }{x ^{2}-x+1 }dx = \frac{1}{6} t \frac{2x-1}{x ^{2}-x+1} dx - \frac{1}{2} t \frac{1}{x ^{2}-x+1}dx = \frac{1}{6}ln (x ^{2}-x+1) - \frac{1}{2} t \frac{1}{(x- \frac{1}{2}) ^{2} + ( \frac{ \sqrt{3} }{2} ) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ I _{2}= \frac{1}{6}ln (x ^{2}-x+1) - \frac{1}{2} [ \frac{2}{ \sqrt{3} }*arctg \frac{x- \frac{1}{2} }{ \frac{ \sqrt{3} }{2} }] = \frac{1}{6}ln (x ^{2}-x+1) - \frac{1}{ \sqrt{3} }arctg ft( \frac{2x-1}{ \sqrt{3} } \right)}\)

Teraz mamy że całka podana w zadaniu to: \(\displaystyle{ I _{1} = \frac{1}{3}ln ft|x+1 \right| - I _{2}}\)
I do tego należy podstawić granice.
Mam nadzieję, że jest w miarę przejrzyście.