Nieoznaczona, licznik:jednomian, mianownik:trójmian

[czezaur]

\(\displaystyle{ \int \frac{2dx}{x^{3}-x^{2}-4}=\int \frac{2dx}{(x-2)(x^{2}+x+2)} \\ \\
\frac{2}{(x-2)(x^{2}+x+2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x^{2}+x+2}} /\cdot (x-2)(x^{2}+x+2) \\ \\
2 \equiv A(x^{2}+x+2})+B(x-2) \\ \\
2 \equiv Ax^{2} + Ax + 2A +Bx -2B \\ \\
\begin{cases} A=0\\A+B=0\\2(A-B)=2 A-B=1\end{cases}}\)
i to jest układ sprzeczny, gdzie popełniam błąd?

[meninio]

Popełniłeś błąd taki, że tam gdzie masz B przy rozkładzie ma być: \(\displaystyle{ Bx+C}\)

[robal1024]

W liczniku drugiego ułamka powinno być Bx+C, a nie B.
Pozdrawiam.

[czezaur]

Poprawiam:
\(\displaystyle{ \frac{2}{(x-2)(x^{2}+x+2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^{2}+x+2}} /\cdot (x-2)(x^{2}+x+2) \\ \\
2 \equiv A(x^{2}+x+2})+(Bx+C)(x-2) \\ \\
2 \equiv Ax^{2} + Ax + 2A +Bx^{2} -2B +Cx-2C\\ \\
2 \equiv (A+B)x^{2}+(A-2B+C)x-2(A-C)\\ \\
\begin{cases} A+B=0\\A-2B+C=0\\A-C=1\end{cases}
\begin{cases} A=\frac{1}{4}\\B=-\frac{1}{4}\\C=-\frac{3}{4}\end{cases}\\
...\\
\int \frac{2}{(x-2)(x^{2}+x+2)}=\int(\frac{\frac{1}{4}}{x-2}+\frac{-\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}}{x^{2}+x+2}})dx=\frac{1}{4}\int\frac{dx}{x-2}-\frac{1}{4}\int\frac{x+3}{x^{2}+x+2}dx}\)
W pierwszej całce wiadomo:licznik jest pochodną mianownika=> (ln|x-2|)/4, co z drugą?

[Nakahed90]

Musisz rozłożyć na ułamki proste.

[meninio]

Drugiej nie da się rozłożyć na ułamki proste, bo delta jest mniejsza od 0. Trzeba zastosować procedurę arctg

[czezaur]

meninio, mógłbyś napisać kilka słów więce nt. tej metody, może ma ona inną nazwę, nie mogę jej znaleźć.

[meninio]

Tzn pokaże ci jak to robić, to wtedy będziesz wiedział o co chodzi:

\(\displaystyle{ \int \frac{x+3}{x^2+x+2}dx=\int \frac{\frac{1}{2}(2x+1)+\frac{5}{2}}{x^2+x+3}dx= \frac{1}{2}\int \frac{2x+1}{x^2+x+2}dx+\frac{5}{2}\int \frac{1}{x^2+x+2}dx= \\ \\ = \frac{1}{2}\int \frac{(x^2+x+2)'}{x^2+x+2}+\frac{5}{2}\int \frac{1}{ ft( x+\frac{1}{2} \right)^2+\frac{7}{4}}dx=\frac{1}{2}\ln ft| x^2+x+2\right| +\frac{5}{2} t \frac{1}{ \frac{7}{4}\left[ \frac{4}{7}\left(x+\frac{1}{2} \right)^2+1 \right]}dx = \\ \\ = \frac{1}{2}\ln ft| x^2+x+2\right| +\frac{10}{7} t \frac{1}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{7}} \right)^2+1 }dx = ft\{\begin{array}{l} t=\frac{2x+1}{\sqrt{7}}\\ dt=\frac{2}{\sqrt{7}}dx \\ dx=\frac{\sqrt{7}}{2}dt\end{array} \right\} = \\ \\ = \frac{1}{2}\ln ft| x^2+x+2\right| + \frac{10}{7} t \frac{\frac{\sqrt{7}}{2}dt}{t^2+1}=\frac{1}{2}\ln ft| x^2+x+2\right| ++\frac{5}{\sqrt{7}}\arctan (t)= \\ \\ =\frac{1}{2}\ln ft| x^2+x+2\right| + \frac{5}{\sqrt{7}}\arctan ft( \frac{2x+1}{\sqrt{7}} \right) +C}\)

[czezaur]

Szacunek!