Matematyka.pl

jak się liczy takie całki?

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{1}{e} } \frac{1}{xln^2 x}dx}\)

\(\displaystyle{ \int_{1}^{ } \frac{1}{x \sqrt{x-1} }dx}\)

\(\displaystyle{ \int_{1}^{ } \frac{1}{x^2 +x} dx}\)

\(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{ } \frac{1}{x^2 +2x + 2}dx}\)

z góry wielkie dzięki za pomoc

Funkcje podcałkowe są elementarne dosyć, wiec całki te można rozwiązać podstawowymi sposobami.

rozwiązanie całek oznaczonych to definicja, więc ograniczę się do rozw. całek nieoznaczonych:
a) podstawienie \(\displaystyle{ t=lnx}\)
b) podstawienie \(\displaystyle{ t=\sqrt{x-1}}\)
c) rozłóż na ułamki proste =1/x-1/(x+1) a to już się całkuje w pamięci
d) podstawienie \(\displaystyle{ t=x+1}\)

dzieki, chwilowa zaćma

Można wykorzystać przydatne wzory na całki niewłaściwe. Np. w pierwszym przypadku dolna granica jest punktem osobliwym:
a - osobliwe

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x) = F(b) - \lim_{ x\to a ^{+} } F(x)}\)

gdy b jest osobliwe:

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x) = \lim_{ x\to b ^{-} } F(x) - F(a)}\)

Oczywiście F(x) jest funkcją pierwotną f(x).

Analogicznie można podstawić za punkt osobliwy \(\displaystyle{ \pm }\)