Kilka całek do rozwiązania.

[KK_1]

Witam, czy ktoś uprzejmy mógłby mi pomóc w rozwiązaniu tych przykładów?

1. \(\displaystyle{ \int_{-2}^{2}\|x|e^{|x-1|}dx}\)


2. \(\displaystyle{ \int_{\sqrt3}^{\sqrt7}\frac{x^3dx}{\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}}\)


3. \(\displaystyle{ \int\frac{\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[6]{x^7}+\sqrt[4]{x^5}}dx}\)

4. \(\displaystyle{ \int\frac{ln(sinx)}{sin^2x}dx}\)

5. \(\displaystyle{ \int\frac{dx}{3cosx+sinx+1}}\)

z góry serdecznie dziękuję za pomoc.

pozdrawiam

[Maniek]

3) Podstaw za \(\displaystyle{ t = \sqrt[12]{x}}\)
4) Spróbuj z podstawieniem \(\displaystyle{ t=ln(sinx)}\)

[bolo]

4. Założenie: \(\displaystyle{ x\in(2k\pi;\pi+2k\pi)\,\wedge\,k\in\mathbb{C}}\)

\(\displaystyle{ \int\frac{ln(sinx)}{sin^{2}x}dx}\)

Przez części:
\(\displaystyle{ u=ln(sinx)\,\,\,v'=\frac{1}{sin^{2}x} \\ u'=ctgx\,\,\,v=-ctgx}\)

Otrzymujemy następnie:
\(\displaystyle{ -ln(sinx)ctgx+\int ctg^{2}xdx=\\=-ln(sin x)ctgx+\int (1+ctg^{2}x-1) dx=\\=-ln(sinx)ctgx+\int\frac{1}{sin^{2}x}dx-x+C=\\=-ln(sinx)ctgx-ctgx-x+C=\\=ctgx(-ln(sinx)-1)-x+C}\)

[kuch2r]

ad.5
podstawienie typu:
\(\displaystyle{ tg\frac{x}{2}=t\\\frac{x}{2}=arctgtt\\x=2arctgt\\dx=\frac{2dt}{1+t^2}}\)
Kolejno:
\(\displaystyle{ sinx=2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}=\frac{2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}}=\frac{2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}(tg^2 \frac{x}{2}+1)}=\frac{2t}{t^2+1}}\) (gdzie \(\displaystyle{ t=tg\frac{x}{2}}\))
\(\displaystyle{ cosx=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\frac{\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}}{\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}}\)

ad.2
\(\displaystyle{ \int\frac{x^3}{\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}=\int\frac{x^2\cdot x}{\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}}\)
Teraz jedziemy z podstawieniem:
\(\displaystyle{ x^2+1=t\\x^2=t-1\\2xdx=dt\\xdx=\frac{dt}{2}}\)
Nastepnie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int\frac{t-1}{t^{\frac{2}{3}}}dt}\)
itd.

[Grzegorz Getka]

Pierwsza całka przez części \(\displaystyle{ u=x \qquad \qquad v'=\large e^{x-1}}\)