Mam do wyliczenia taką całkę :
\(\displaystyle{ \int {\left( 4\sqrt{x} + \frac{1}{x\sqrt{x}}\right)e ^{-x} } \dd x }\)
Podstawiam \(\displaystyle{ t=\sqrt{x}}\) i otrzymuję
\(\displaystyle{ 2 \int {\left( 4t+\frac{1}{t^3}\right)e^{-t^2} } \cdot t \dd t = 2\int {\left( \frac{4t^4+1}{t^2}\right)e^{-t^2} } \dd t}\)
... i nie wiem, jak mam dalej kontynuować. Próbowałem coś liczyć przez części ale nic z tego nie wyszło. Całka jest na pewno elementarna, wpisałem w Wolframa i zwrócił "normalny" wynik. Proszę o jakąś poradę.
Całka nieoznaczona z pierwiastkami i eksponentą
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Całka nieoznaczona z pierwiastkami i eksponentą
Weź sobie pierwszy kawałek tej całki, czyli
\(\displaystyle{ \int 4t^2e^{-t^2} }\)
i scałkuj dwa razy przez części (w taki sposób rozdzielając kawałek wielomianowy, aby pojawiło się wyrażenie typu \(\displaystyle{ te^{-t^2}}\), które będziesz całkował). Powinien pojawić się wynik tej całki minus kawałek, którego nie użyłeś, czyli \(\displaystyle{ \int \frac{1}{t^2}e^{-t^2}}\).
\(\displaystyle{ \int 4t^2e^{-t^2} }\)
i scałkuj dwa razy przez części (w taki sposób rozdzielając kawałek wielomianowy, aby pojawiło się wyrażenie typu \(\displaystyle{ te^{-t^2}}\), które będziesz całkował). Powinien pojawić się wynik tej całki minus kawałek, którego nie użyłeś, czyli \(\displaystyle{ \int \frac{1}{t^2}e^{-t^2}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 59
- Rejestracja: 9 cze 2013, o 17:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 21 razy
Re: Całka nieoznaczona z pierwiastkami i eksponentą
Robię w ten sposób i wychodziTmkk pisze: ↑7 maja 2021, o 11:57 Weź sobie pierwszy kawałek tej całki, czyli
\(\displaystyle{ \int 4t^2e^{-t^2} }\)
i scałkuj dwa razy przez części (w taki sposób rozdzielając kawałek wielomianowy, aby pojawiło się wyrażenie typu \(\displaystyle{ te^{-t^2}}\), które będziesz całkował). Powinien pojawić się wynik tej całki minus kawałek, którego nie użyłeś, czyli \(\displaystyle{ \int \frac{1}{t^2}e^{-t^2}}\).
\(\displaystyle{ \int 4t^2e^{-t^2} \dd t = -2 \int t \cdot \left( -2te^{-t^2}\right) \dd t = \left| u=t, \dd v = -2te^{-t^2}\right| =-2\left( te^{-t^2}- \int e^{-t^2} \dd t\right) = \left| u = \frac{1}{t}, \dd v = te^{-t^2} \dd t \right|=\\ = -2 \left( te^{-t^2} - \left( - \frac{1}{2t} e^{-t^2} -\frac{1}{2} \int \frac{1}{t^2} e^{-t^2} \dd t\right) \right) }\)
i po dalszych uproszczeniach rzeczywiście pojawia się ta druga całka, tylko z minusem, co pozwala odjąć je od siebie. Bardzo dziękuję za pomoc.
Ostatnio zmieniony 8 maja 2021, o 09:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Łam za długie linie.
Powód: Łam za długie linie.