Oblicz całkę

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Oblicz całkę

Post autor: Iza8723 »

Oblicz całkę:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} x ^{ \frac{1}{2} } (1-x) ^{ \frac{3}{2} } dx }\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Oblicz całkę

Post autor: Premislav »

Proponuję podstawienie \(\displaystyle{ x=\sin^{2}(t)}\), następnie pozbycie się sinusów dzięki jedynce trygonometrycznej, a później skorzystanie z
\(\displaystyle{ \cos^{2}(t)=\frac{1+\cos(2t)}{2}}\) (kilka razy).
Alternatywnie można skorzystać z funkcji specjalnej Beta, ale jeśli dano Ci takie zadanie, to pewnie nie o to chodziło…
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Oblicz całkę

Post autor: Iza8723 »

A mógłbyś pokazać jak zrobić za pomocą tej funkcji Beta. Prowadzący mówił, że można skorzystać z tego tylko nie za bardzo wiem jak
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Oblicz całkę

Post autor: Premislav »

Dla \(\displaystyle{ \mathrm{Re } \ \alpha>0, \ \mathrm{Re } \ \beta>0}\) mamy
\(\displaystyle{ \mathrm{B}(\alpha, \beta)=\int_{0}^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\mbox{d}x}\)
W Twoim przypadku jest \(\displaystyle{ \alpha-1=\frac{1}{2}, \ \beta-1=\frac{3}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ \alpha=\frac{3}{2}, \ \beta=\frac{5}{2}}\).
Mamy więc
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x^{\frac{1}{2}}(1-x)^{\frac{3}{2}}\mbox{d}x=\mathrm{B}\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)=\frac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{3}{2}+\frac{5}{2}\right)}\\=\frac{\frac{3}{2}\Gamma^{2}\left(\frac{3}{2}\right)}{3!}=\frac{1}{4}\Gamma^{2}\left(\frac{3}{2}\right)}\)
przy czym skorzystałem z własności
\(\displaystyle{ \mathrm{B}(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}, \ z\Gamma(z)=\Gamma(z+1), \mathrm{Re} \ z>0, \ \Gamma(k)=(k-1)!, \ k\in \NN^{+}}\)

Co więcej, wartość \(\displaystyle{ \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}\) też można wyznaczyć w bardziej jawnej postaci:
\(\displaystyle{ \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\int_{0}^{+\infty}x^{\frac{3}{2}-1}e^{-x}\mbox{d}x=\left|\begin{array}{cc}x=t^{2}\\\mbox{d}x=2t\mbox{d}t\end{array}\right|=\int_{0}^{+\infty}2t^{2}e^{-t^{2}}\mbox{d}t}\)
i teraz przez części:
\(\displaystyle{ \ldots=\int_{0}^{+\infty}-t\left(e^{-t^{2}}\right)' \mbox{d}t=-te^{-t^{2}}\bigg|^{t\rightarrow+\infty}_{t=0}+\int_{0}^{+\infty}e^{-t^{2}}\mbox{d}t}\)
Ta ostatnia całka jest powszechnie znana i wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{\pi}{4}}}\)
(można wygodnie policzyć \(\displaystyle{ \int_{\RR}^{}e^{-x^{2}}\mbox{d}x}\), obliczając kwadrat tej wartości za pomocą twierdzenia Fubiniego, no a nasza całka to jej połowa).

Zatem ostatecznie
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x^{\frac{1}{2}}(1-x)^{\frac{3}{2}}\mbox{d}x=\frac{\pi}{16}}\)
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Oblicz całkę

Post autor: Iza8723 »

Próbuje robić tą całkę tymi podstawieniami co zaproponowałeś i dotarłam do :
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} (\cos t-\cos ^{3}t )\left( \frac{1+\cos2t}{2} \right) ^{ \frac{3}{2} } dt }\)
Ostatnio zmieniony 24 paź 2020, o 18:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Oblicz całkę

Post autor: Premislav »

To być może coś zmyliłem, w każdym razie trudno na ten temat dyskutować, gdyż nie przedstawiasz obliczeń. Wprawdzie napisałem już rozwiązanie jedną metodą, ale mogę i się szarpnąć na drugą:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x^{\frac{1}{2}}\left(1-x\right)^{\frac{3}{2}}\mbox{d}x=\left|\begin{array}{cc}x=\sin^{2}(t)\\\mbox{d}x=2\sin (t)\cos (t)\mbox{d}t\end{array}\right|= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\sin^{2}(t)\cos^{4}(t)\mbox{d}t\\=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1-\cos^{2}(t)\right)\cos^{4}(t)\mbox{d}t=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos^{4}(t)-\cos^{6}t\right)\mbox{d}t}\)
i teraz \(\displaystyle{ \cos^{4}(t)=\left(\frac{1+\cos(2t)}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos(2t)+\frac{1}{4}\cos^{2}(2t)\\=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos(2t)+\frac{1+\cos(4t)}{8}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \cos^{6}(t)=\left(\frac{1+\cos(2t)}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}+\frac{3}{8}\cos(2t)+\frac{3}{8}\cos^{2}(2t)+\frac{1}{8}\cos^{3}(2t)\\=\frac{1}{8}+\frac{3}{8}\cos(2t)+\frac{3}{16}(1+\cos(4t))+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{4}\cos(6t)+\frac{3}{4}\cos(2t)\right)}\)
Sorry, nie wspomniałem, że wzór na kosinus potrojonego kąta też się przyda, choć to widziałem. Dalej wstawiamy granice całkowania i łatwo dostajemy wynik \(\displaystyle{ \frac{\pi}{16}}\).

Jak ktoś nie zna tych wzorów, to zawsze można zapisać \(\displaystyle{ \cos t=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}}\) i normalnie podnosić do odpowiedniej potęgi ze wzorów skróconego mnożenia, a same się ujawnią… Przykład:
\(\displaystyle{ \cos^{4}x=\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{4}=\frac{e^{4ix}+4e^{3ix}e^{-ix}+6e^{2ix}e^{-2ix}+4e^{ix}e^{-3ix}+e^{-4ix}}{16}\\=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}\cos(4x)+\frac{1}{2}\cos(2x)}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Oblicz całkę

Post autor: a4karo »

ALbo tak: korzystając ze wzorów `2\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)` i `2\sin\alpha\cos\beta=\sin{\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)` dostajemy

\(\displaystyle{ \sin^2x\cos^4x=\frac{1}{4} \sin^22x\cos^2x=\frac{1}{8}(\sin 3x+\sin x)^2=\frac{1}{8}\left(\sin^23x+\sin^2x +\frac{1}{2}(\cos 2x-\cos 4x)\right)}\)
ODPOWIEDZ