Całka podwójna z koła

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
krzysiek000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 14 wrz 2020, o 16:14
Płeć: Mężczyzna
wiek: 27

Całka podwójna z koła

Post autor: krzysiek000 » 14 wrz 2020, o 20:06

Witam,
Potrzebuje pomocy w rozwiązaniu całki jak poniżej. Mój wynik to \(\displaystyle{ \frac{3}{2} \pi }\) lecz Pani Doktor mówi że jest źle.

\(\displaystyle{ \iint_{D} (3-xy)dxdy , D=\{(x,y)\in \RR^2 : x^2 + y^2 \leqslant 1 \wedge y\geqslant 0 \} }\)


Z góry dziękuję za pomoc.
Ostatnio zmieniony 14 wrz 2020, o 20:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nawiasy klamrowe to \{,\}. Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26650
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4454 razy

Re: Całka podwójna z koła

Post autor: Jan Kraszewski » 14 wrz 2020, o 20:14

Pokaż swoje rachunki.

JK

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6077
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1303 razy

Re: Całka podwójna z koła

Post autor: janusz47 » 14 wrz 2020, o 20:21

Najprościej, wprowadzamy współrzędne biegunowe:

\(\displaystyle{ ( r, \theta)\rightarrow (r\cos(\theta), \ \ r\sin(\theta)) }\)

Nie zapominamy o Jakobianie \(\displaystyle{ J(r, \theta) = r. }\)

Zapisujemy całkę w tych współrzędnych.

krzysiek000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 14 wrz 2020, o 16:14
Płeć: Mężczyzna
wiek: 27

Re: Całka podwójna z koła

Post autor: krzysiek000 » 14 wrz 2020, o 20:25

Niestety mam problem z zamieszczeniem obrazu. Po przekształceniu na współrzędne biegunowe wygląda to następująco:

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\pi} \int\limits_{0}^{1} (3-r\cos\varphi\cdot r\sin\varphi)r drd\varphi \\ gdzie\\ 0 < r < 1 \\ 0 < \varphi < \pi}\)
Ostatnio zmieniony 14 wrz 2020, o 22:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18433
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3115 razy

Re: Całka podwójna z koła

Post autor: a4karo » 14 wrz 2020, o 20:49

Całka z `xy` jest równa zero że względu na symetrie obszaru względem osi `oy`, więc wartość calki jest poprawna

ODPOWIEDZ