Granica i zbieżność

[snake1984]

Witam serdecznie. Poszukuję odpowiedzi na to zadanie, powiem szczerzę że z matmy to noga jestem, więc proszę o pomoc w rozwiązaniu paru równań.

Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
\(\displaystyle{ a_{n}=\left( \frac{n+1}{n}\right) ^{2n+1}}\)

Zbadaj zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n+1}^{ } \frac{ n^{2} }{ 2^{n} }}\)

Oblicz granicę funkcji:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to5 } \frac{ \sqrt{x-1-2} }{x-5}}\)

Z góry dzięki za pomoc. Pozdrawiam.

[robal1024]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (1+ \frac{1}{n}) ^{2n}( \frac{n+1}{n})= \lim_{n \to \infty } ((1+ \frac{1}{n}) ^{n} ) ^{2} ( \frac{n+1}{n})=e ^{2} *1=e ^{2}}\)
Na mocy kryterium D'Alemberta badamy granicę ciągu:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a _{n+1} }{a _{n} } = \lim_{ n\to \infty } \frac{ \frac{(n+1) ^{2} }{2 ^{n+1} } }{ \frac{n ^{2} }{2 ^{n} } }= \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1) ^{2} }{n ^{2} } \frac{1}{2}= \frac{1}{2} }\)
Jest to zatem szereg zbieżny.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 5 ^{+} } \frac{ \sqrt{x-3} }{x-5} = \infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 5 ^{-} } \frac{ \sqrt{x-3} }{x-5}= - \infty}\)
Pozdrawiam

[snake1984]

A ktoś wie jak zrobić resztę??

[ Dodano: 9 Stycznia 2009, 10:32 ]
Przepraszam ale wkradł mi się błąd w zadaniu prawidłowo powinno być tak:

Zbadaj zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{ n^{2} }{ 2^{n} }}\)

[miodzio1988]

kryterium Cauchy'ego. granica wychodzi 0,5 ( 0 ,5<1) wiec szereg jest zbiezny.