Ciągi pod pierwiastkiem

[mik12v]

Proszę o naprowadzenie jak zadania tego typu rozwiązywać, bo nie wiem jakich twierdzeń używać do tego typu zadań, jak to liczyć, za pomoc bardzo dziękuję i nagradzam ...

\(\displaystyle{ 1) a_{n} = \sqrt[n]{5n^7-n^2+2}

2) a_{n} = 3n+ \sqrt{n^2+4}

3) a_{n} = n- \sqrt{n^2+4}

4) a_{n} = n(n - \sqrt{n^2+2} )}\)

[Tomek_Z]

Rozumiem, że nalezy policzyć granicę?
Zastanawiam się czy w pierwszym przypadku można by tak zrobić:

1) \(\displaystyle{ \lim_{n \to } \sqrt[n]{5n^7-n^2+2} = \lim_{n \to } (5n^7-n^2+2)^{ \frac{1}{n} } = 1}\) ponieważ przy \(\displaystyle{ n \qquad \frac{1}{n} =0}\)

[mik12v]

Tak granicę, no w sumie na to nie wpadłem by tak zrobić, ale wynik wyszedł Ci dobry bo miało wyjść 1...Ja to robiłem tak, ale nie wiem czy dobrze :/, jak myślisz??:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \sqrt[n]{n^7(5- \frac{1}{n^5}+ \frac{2}{n^7})}}\)

tylko nie wiem jak potem dalej...

[ Dodano: 3 Stycznia 2009, 20:40 ]
Tomek_Z próbowałem te nastepne przykłady robić tak jak Ty ten pierwszy no i niestety nie za bardzo to wychodzi, pragne jeszcze dodać że wyniki to :

1) = 1

2) = + nieskończoność

3) = 0

4) = -1

[Tomek_Z]

Raczej tym sposbem już nie, bo stopień pierwiastka w każdym pozostałym przykładzie wynosi 2.

Drugi przykład mozna tak:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to } ( 3n + \sqrt{n^2+4} \frac{ \sqrt{n^2-4} }{ \sqrt{n^2-4} } = \lim_{n \to } 3n + \frac{ \sqrt{n^4-16} }{ \sqrt{n^2-4} } = \lim_{n \to } (3n + \frac{n^2}{n} = \lim_{n \to } 3n+n = \lim_{n \to } 3n+n= \lim_{n \to } 4n = }\)

[mik12v]

troche nie rozumiem jak z tymi pierwiastkami to robisz :/...Mógłbyś trochę to wytłumaczyć??

[Tomek_Z]

No dobra, mam nadzieję że do tego momentu rozumiesz:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to } 3n + \frac{ \sqrt{n^4-16} }{ \sqrt{n^2-4} } = \lim_{n \to } 3n + \frac{ \sqrt{n^4(1+16/n^4} }{ \sqrt{n^2(1+4/n^2)} } = ...}\)

[mik12v]

no tak ...

[ Dodano: 3 Stycznia 2009, 21:24 ]
dzieki wielkie ...oczywiscie punkt, a mógłbys mi jeszcze powiedzieć czy tak jak robiłem to pierwsze zadanie, da się to zrobić??

[Tomek_Z]

Moim zdaniem nie za bardzo...

[Frey]

Rozumiem, że nalezy policzyć granicę?
Zastanawiam się czy w pierwszym przypadku można by tak zrobić:

1) \(\displaystyle{ \lim_{n \to } \sqrt[n]{5n^7-n^2+2} = \lim_{n \to } (5n^7-n^2+2)^{ \frac{1}{n} } = 1}\) ponieważ przy \(\displaystyle{ n \qquad \frac{1}{n} =0}\)

Dobra intuicja, ale nie tak przechodzi się do granicy.

Mik12 to twoje rozwiązanie jest złe.

Jest to prosty przykład, z serii tw. o 3 ciągach. (czytane o środka i oczywiście od pewnego n)
\(\displaystyle{ 1 \sqrt[n]{3n^7}=\sqrt[n]{5n^7-n^7-n^7} \sqrt[n]{5n^7-n^2+2} \sqrt[n]{5n^7+n^7+n&7} =\sqrt[n]{7n^7} 1}\)

Pozostałe przykłady najlepiej robić mnożąc przez sprzężenie.

[mik12v]

Mnożąc przez sprzężenie tzn jak?? Mógłbyś pokazać na jednym z tych przykładów?? np na 3 przykładzie??

[Frey]

ok mogę pokazać

\(\displaystyle{ n- \sqrt{n^2+4} = \frac{(n- \sqrt{n^2+4})*(n+ \sqrt{n^2+4}) }{n+ \sqrt{n^2+4} } = \frac{n^2 - n^2 - 4}{n(1+ \sqrt{1+ \frac{4}{n^2} }} = \frac{-4}{n} * \frac{1}{1+ \sqrt{ 1+\frac{4}{n^2} }}} 0*1/2=0}\)

o ile się nie pomyliłem, jakoś tak

[mik12v]

Juz wiem co nazywasz sprzężeniem ...Dzięki Frey , robiłem to zadanie identycznie z pominięciem jednego czynnika więc juz wiem gdzie jest błąd ...

[Frey]

żaden problem,
PS: To nie ja to nazwałem sprzężeniem, w jakiś książce wyczytałem, ze tak to się nazywa. Ja bym to nazwał skorzystaniem ze wzoru skróconego mnożenia

[Denali6194]

Mam jedno pytanie odnośnie tego co kolega napisal :

Raczej tym sposbem już nie, bo stopień pierwiastka w każdym pozostałym przykładzie wynosi 2.

Drugi przykład mozna tak:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to } ( 3n + \sqrt{n^2+4} \frac{ \sqrt{n^2-4} }{ \sqrt{n^2-4} } = \lim_{n \to } 3n + \frac{ \sqrt{n^4-16} }{ \sqrt{n^2-4} } = \lim_{n \to } (3n + \frac{n^2}{n} = \lim_{n \to } 3n+n = \lim_{n \to } 3n+n= \lim_{n \to } 4n = }\)

mamy tutaj dodawanie, wiec czemu tylko jeden czynnik jest pomnozony? Chyba tak nie dokonca mozna zrobic, poza tym zastanawia mnie zmienianie znaku pod pierwiastkiem. Niby w l.z. tak mozna, ale tutaj mamy liczby R.
Robiac to z zachowaniem zasad dod. i odejmowania wychodzi ta sama odpowiedz.

Czekam na rozwianie watpliwosci (:

[mik12v]

Wydaje mi się, że jest to dobrze, mnożysz przez ten pierwiastek tylko ze pod tym pierwiastkiem masz zmieniony znak tak się liczy by pozbyć się symbolu nieoznaczonego a pozatym wyrażenie przez które pomnożył Tomek_Z tamto to tak naprawde 1 a przez 1 zawsze można mnożyć. A to o czym Ty myślisz też jest dobrze co dowodzi to liczenie :

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to } 3n + \sqrt{n^2+4} = 3n + \sqrt{n^2+4} * \frac{3n - \sqrt{n^2+4}}{3n - \sqrt{n^2+4}} = \frac{9n^2 -n^2-4}{3n - \sqrt{n^2+4} } = \frac{8n^2 - 4}{3n - \sqrt{n^2(1+ \frac{4}{n^2} )} } = \frac{8n}{3-1} = \frac{8n}{2} = 4n = }\)

Jak więc widać wynik wychodzi identyczny jak w tamtym liczeniu, zauważ jeszcze ze tam zmieniasz znak pod pierwiastkiem by pozbyc się pierwiastka w liczniku, natomiast tu korzystasz z tak zwanego mnożenia przez sprzężenie.