Mógłby ktoś rozpisać rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \frac{(n+2) ^{4} - (n-2) ^{4} }{(n+2) ^{3} -(n-2) ^{3} }}\)
Granica ciągu
-
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
Granica ciągu
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \frac{(n+2) ^{4} - (n-2) ^{4} }{(n+2) ^{3} -(n-2) ^{3} } =\lim_{ n\to } \frac{((n+2)^2-(n-2)^2)((n+2)^2+(n-2)^2))}{(n+2-n+2)((n+2)^2+(n+2)(n-2)+(n-2)^2)}=\\ = \lim_{ n\to } \frac{(n^2+4n+4-n^2+4n-4)(n^2+4n+4+n^2-4n+4)}{4(n^2+4n+4+n^2-4+n^2-4n+4)}= \\ = \lim_{ n\to } \frac{8n(2n^2+8)}{4(3n^2+4)}= \lim_{ n\to } \frac{8n(2+ \frac{8}{n^2}) }{4(3+ \frac{4}{n^2}) }=+\infty}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 72
- Rejestracja: 15 lis 2008, o 17:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sulechów
- Podziękował: 4 razy
Granica ciągu
Ja zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \frac{(n+2) ^{4} - (n-2) ^{4} }{(n+2) ^{3} -(n-2) ^{3} } = \frac{(n ^{4}+4 n ^{3} 2 +4 n 2 ^{3}+2 ^{4})-(n ^{4}-4 n ^{3} (-2) +4 n (-2) ^{3}+(-2) ^{4})}{(n ^{3}+3 n ^{2} 2 +3 n 2 ^{2}+2 ^{3})-(n ^{3}-3 n ^{2} (-2) +3 n (-2) ^{2}-(-2) ^{3})} =\\ \\ =\frac{(n ^{4}+8n ^{3}+32n+16)-(n ^{4}+8n ^{3}-32n-16)}{(n ^{3}+6n ^{2}+12n+8)-(n ^{3}+6n ^{2}+12n-8)}=\frac{n ^{4}+8n ^{3}+32n+16-n ^{4}-8n ^{3}+32n+16}{n ^{3}+6n ^{2}+12n+8-n ^{3}-6n ^{2}-12n+8}= \\\\ = \frac{64n+32}{16}= \frac{16(4n+1)}{16}=4n+1=+ }\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \frac{(n+2) ^{4} - (n-2) ^{4} }{(n+2) ^{3} -(n-2) ^{3} } = \frac{(n ^{4}+4 n ^{3} 2 +4 n 2 ^{3}+2 ^{4})-(n ^{4}-4 n ^{3} (-2) +4 n (-2) ^{3}+(-2) ^{4})}{(n ^{3}+3 n ^{2} 2 +3 n 2 ^{2}+2 ^{3})-(n ^{3}-3 n ^{2} (-2) +3 n (-2) ^{2}-(-2) ^{3})} =\\ \\ =\frac{(n ^{4}+8n ^{3}+32n+16)-(n ^{4}+8n ^{3}-32n-16)}{(n ^{3}+6n ^{2}+12n+8)-(n ^{3}+6n ^{2}+12n-8)}=\frac{n ^{4}+8n ^{3}+32n+16-n ^{4}-8n ^{3}+32n+16}{n ^{3}+6n ^{2}+12n+8-n ^{3}-6n ^{2}-12n+8}= \\\\ = \frac{64n+32}{16}= \frac{16(4n+1)}{16}=4n+1=+ }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
Granica ciągu
\(\displaystyle{ \frac{(n+2) ^{4} - (n-2) ^{4} }{(n+2) ^{3} -(n-2) ^{3} } = \frac{(n ^{4}+8 \cdot n ^{3} +24 \cdot n^2+32n+16)-(n ^{4}-8 \cdot n ^{3} +24n^2-32n+16)}{(n ^{3}+3 \cdot n ^{2} \cdot 2 +3 \cdot n \cdot 2 ^{2}+2 ^{3})-(n ^{3}-3 \cdot n ^{2} \cdot 2 +3 \cdot n \cdot 2 ^{2}-2 ^{3})} =\\ \\ =...= \frac{16n^3+64n}{12n^2+16}--->+\infty}\)