Matematyka.pl

Obliczyć następujące granice:
1.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } \frac{1+a+a ^{2}+a ^{3}...a ^{n} }{1+b+b ^{2}+b ^{3}...b ^{n} }
gdzie ft| a\right| i ft| b\right| < 1}\). Wiem że można to jakoś rozwiązać korzystając ze wzoru na ciąg geometryczny ale jakoś nie mogę tego rozpracować

2. Taki dziwoląg:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \sqrt[n]{n!}}\) . Na mój gust to leci do jedynki ale jak to wyliczyć?

3.

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \frac{2 ^{n} }{n!}}\)

2) Rozważmy logarytm naturalny tego ciągu:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} ln \sqrt[n]{n!} = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} ln(n!) = \lim_{n\to \infty} \frac{ln(n!)}{n} = S = \lim_{n\to \infty} \frac{ln(n!) -ln((n-1)!)}{n - (n-1)} = \lim_{n\to \infty} ln(n) = +\infty}\)
S oznacza użycie twierdzenia Stolza. Jak widać granicą nie jest jedynka (skoro logarytm jest nieograniczony, to tym bardziej sam ciąg). Możesz też udowodnić taką nierówność (najprościej indukcyjnie):
\(\displaystyle{ n! > ft(\frac{n}{e}\right)^{n}}\)

Wasilewski pisze:2) Rozważmy logarytm naturalny tego ciągu:
(...)

Przekroczyłeś mój poziom Na zajęciach i wykładzie robiliśmy to nieco prostszymi sposobami, ale dzięki.

Ale zasugerowałem też drugą metodę, zdecydowanie prostszą.