Matematyka.pl

Mam problem z obliczeniem następujących granic :

a) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{ \sqrt[3]{ n^{4}+ n } }{ \sqrt[5]{ n^{3}+ 2n + 1 } }}\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \sqrt[3]{ n^{2} + 1 } - \sqrt[3]{ n^{2} - 1 }}\)

Bardzo prosiłabym o rozpisanie tego krok, po kroku, gdyż mam "małe" trudności ze zrozumieniem tego.
Z góry dziękuję za pomoc

do b) dam Ci małą wskazówkę:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} = \frac{a-b}{ (\sqrt[3]{a}) ^{2} + \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b}) ^{2}}}\)

Oto chodzi, że znam ten wzór, tylko nie potrafię pojąć np. gdy dojdę do tej postaci rozpisanej już i mam podzielić licznik i mianownik przez "n" do którejś tam potęgi i tam jest coś w stylu : "jeżeli dzielę przez n^2 pierwiastek stopnia np. 3, to muszę to podzielić przez n^6" ?! tego nie potrafię zrozumieć ..

czyli rozumiem, że mam to rozpisać;)

\(\displaystyle{ ... = lim \frac{n ^{2} + 1 - n ^{2} +1 }{( \sqrt[3]{n ^{2}+1 }) ^{2} + \sqrt[3]{n ^{2}+1 }\sqrt[3]{n ^{2}-1 } + (\sqrt[3]{n ^{2}-1 }) ^{2} } = lim \frac{2}{(n ^{2}+1) ^{ \frac{2}{3} } + (n ^{4} -1) ^{ \frac{1}{3} } +(n ^{2}-1) ^{ \frac{2}{3} } } =0}\)

tego nawet nie trzeba rozpisywać bo, widać że to będzie dążyło do 0, ponieważ w liczniku jest sama liczba a w mianowniku n do jakiejść potęgi

o! troszkę mi się rozjaśniło ale np. jeżeli zamiast tej 2 w liczniku było by 2n i należało by podzielić przez coś zarówno licznik i mianownik, to już leżę

no to ok, niech by tak było:) wtedy mamy:

\(\displaystyle{ lim \frac{2n}{(n ^{2}+1) ^{ \frac{2}{3} } + (n ^{4} -1) ^{ \frac{1}{3} } +(n ^{2}-1) ^{ \frac{2}{3} } } = lim \frac{2n}{n ^{ \frac{4}{3}}(1+ \frac{1}{n ^{ \frac{4}{3} }}) ^{\frac{2}{3}} + n ^{ \frac{4}{3} }(1- \frac{1}{n ^{\frac{4}{3}} }) ^{ \frac{1}{3} } + n ^{ \frac{4}{3}}(1- \frac{1}{n ^{ \frac{4}{3} }}) ^{\frac{2}{3}} }}\)

i dalej nie będę wszystkiego rozpisywał, ale widać, że teraz \(\displaystyle{ \frac{2n}{n ^{ \frac{4}{3} } } = \sqrt[3]{ \frac{1}{2n} } =0}\)

uff, myślę że ponownie się nigdzie nie pomyliłem:)

no i właśnie tego nie rozumiem ! dlaczego jeżeli masz \(\displaystyle{ n^{2}}\) do potęgi 2/3, to dzielisz przez \(\displaystyle{ n^{ \frac{4}{3} }}\) ?! ech..

\(\displaystyle{ (n ^{2} ) ^{ \frac{2}{3} } = n ^{ \frac{4}{3} }}\)

wydaje mi się że to jest jedno z podstawowych działań na potęgach:))
\(\displaystyle{ (a ^{m} ) ^{n} = a ^{m n}}\)

sza! do mnie jak do dziecka trzeba z tym co z czego i dlaczego w tym momencie przykład b) rozjaśnił mi się w pełni tylko jeszcze jedno małe pytanie odnośnie licznika - nie powinnam go również podzielić przez \(\displaystyle{ n^{ \frac{4}{3} }}\) ?
i co z przykładem a) hmmm ...

maluch pisze: tylko jeszcze jedno małe pytanie odnośnie licznika - nie powinnam go również podzielić przez \(\displaystyle{ n^{ \frac{4}{3} }}\) ?

ja w swoim rozpisaniu dzieliłem tylko licznik, bo mianownika nie chciało mi sie rozpisywać;) (a tam by było 1+1+1)
ale z tego że licznik dążył do 0, to wiadomo co wynika,

[ Dodano: 13 Grudnia 2008, 22:41 ]

maluch pisze:Mam problem z obliczeniem następujących granic :

a) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{ \sqrt[3]{ n^{4}+ n } }{ \sqrt[5]{ n^{3}+ 2n + 1 } }}\)

akurat z tym powinnaś sobie poradzić, jeżeli dobrze zrozumiałaś przykład b) to nie będziesz miała najmniejszego problemu:) a jakby jakiś problem wystąpił, napisz, postaram się pomóc

rozpisałam sobie to tak : \(\displaystyle{ \frac{ n^{ \frac{4}{3} } + n^{ \frac{1}{3} } }{ n^{ \frac{3}{5} }+ 2 n^{ \frac{1}{5} }+ 1^{ \frac{1}{5} } }}\) i dzielę to przez \(\displaystyle{ n^{ \frac{3}{5} }}\) jeżeli dobrze rozumiem ?

maluch pisze:rozpisałam sobie to tak : \(\displaystyle{ \frac{ n^{ \frac{4}{3} } + n^{ \frac{1}{3} } }{ n^{ \frac{3}{5} }+ 2 n^{ \frac{1}{5} }+ 1^{ \frac{1}{5} } }}\) i dzielę to przez \(\displaystyle{ n^{ \frac{3}{5} }}\) jeżeli dobrze rozumiem ?

nie do końca możesz sobie tak to rozpisać..
powinno być tak:
\(\displaystyle{ \frac{ n^{ \frac{4}{3} }(1 + n^{ \frac{1}{3}) } }{ n^{ \frac{3}{5} }(1+ ... }}\)
i wtedy dzielisz \(\displaystyle{ \frac{n ^{ \frac{4}{3} }}{n ^{ \frac{3}{5} }} 0}\)

czyli, że w liczniku wyłączam \(\displaystyle{ n^{ \frac{4}{3} }}\) przed nawias ? czyli w nawiasie powinnam mieć \(\displaystyle{ 1 + \frac{ n^{ \frac{1}{3} } }{ n^{ \frac{4}{3} } }}\)
a w mianowniku wyłączam \(\displaystyle{ n^{ \frac{3}{5} }}\) i w nawiasie mam \(\displaystyle{ 1+ \frac{2 n^{ \frac{1}{5} } }{ n^{ \frac{3}{5} } } + \frac{1}{ n^{ \frac{3}{5} } } }}\) jeżeli nie, to się poddaję, koniec matmy na dziś ..

dokładnie o to chodzi;) zawsze wyłączasz największą potęgę przed nawias, a dalej to wiesz już jak się robi:))

dziękuję bardzo za pomoc