Strona 1 z 1
granice ciągów
: 13 gru 2008, o 17:01
autor: andrzej_kk
1. \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}\)
2. \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{2^{\sqrt{n+1}}}{2^{\sqrt{n}}}}\)
no i właśnie, od czego wyjść, żeby nie wyszedł symbol? z góry dzięki
granice ciągów
: 13 gru 2008, o 17:08
autor: wb
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } \frac{ \sqrt{n+2}- \sqrt{n+1}}{ \sqrt{n+1}- \sqrt{n}}= \lim_{ n\to\infty } \frac{ \sqrt{n+2}- \sqrt{n+1}}{ \sqrt{n+1}- \sqrt{n}} \frac{ \sqrt{n+2}+ \sqrt{n+1}}{ \sqrt{n+2}+ \sqrt{n+1}} \frac{ \sqrt{n+1}+ \sqrt{n}}{ \sqrt{n+1}+ \sqrt{n}} = \\ = \lim_{ n\to\infty } \frac{n+2-n-1}{n+1-n} \frac{ \sqrt{n+1}+ \sqrt{n}}{ \sqrt{n+2}+ \sqrt{n+1}}= \lim_{ n\to\infty } \frac{ \sqrt{n+1}+ \sqrt{n}}{ \sqrt{n+2}+ \sqrt{n+1}}= \\ = \lim_{ n\to\infty } \frac{ \sqrt{1+ \frac{1}{n} }+1}{ \sqrt{1+ \frac{2}{n} }+ \sqrt{1+ \frac{1}{n} }}= \frac{2}{2}=1}\)
[ Dodano: 13 Grudnia 2008, 17:14 ]
2.
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{2^{\sqrt{n+1}}}{2^{\sqrt{n}}}=\lim_{n\to\infty}2^{\sqrt{n+1}-\sqrt n}=\lim_{n\to\infty}2^{ \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt n)(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n} }=\lim_{n\to\infty}2^{ \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n} }= \\ =\lim_{n\to\infty}2^{ \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n} }=2^0=1}\)