oblicz granicę ciągu
: 1 gru 2008, o 00:01
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to } \sqrt[n]{ \frac{1}{2}+ \frac{2}{3} + \frac{3}{4} +...+ \frac{n}{n+1} }}\)
Zauważ, że każdy z \(\displaystyle{ n}\) składników sumy pod pierwiastkiem jest mniejszy od jedynki i nie większy niż pół, stąd:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{n}{2}} < \sqrt[n]{ \frac{1}{2}+ \frac{2}{3} + \frac{3}{4} +...+ \frac{n}{n+1}} < \sqrt[n]{n}}\)
czyli z twierdzenia o trzech ciągów wyjściowa granica jest równa jeden.
Q.