Parametr p a granica.
-
- Użytkownik
- Posty: 280
- Rejestracja: 10 wrz 2007, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lubcza
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2 razy
Parametr p a granica.
Witam mam takie jedno zadanko i nie wiem jak je zrobic:
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) ciąg o wyrazie ogólnym
\(\displaystyle{ a_n=\sqrt{4n^2+3n+5}-(p \cdot n+1)}\)
a)ma granicą niewłaściwą \(\displaystyle{ -\infty}\)
b)ma granicę właściwą(oblicz tę granicę)
c)ma granicę niewłaściwą \(\displaystyle{ +\infty}\).
Pomoże mi ktoś?;>
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) ciąg o wyrazie ogólnym
\(\displaystyle{ a_n=\sqrt{4n^2+3n+5}-(p \cdot n+1)}\)
a)ma granicą niewłaściwą \(\displaystyle{ -\infty}\)
b)ma granicę właściwą(oblicz tę granicę)
c)ma granicę niewłaściwą \(\displaystyle{ +\infty}\).
Pomoże mi ktoś?;>
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2018, o 16:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
- meninio
- Użytkownik
- Posty: 1876
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
Parametr p a granica.
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to } \frac{4n^2+3n+5 -(pn+1)^2}{\sqrt{4n^2+3n+5}+pn+1}= \lim_{ n \to } \frac{(4-p^2)n^2+(3-2p)n+4}{\sqrt{4n^2+3n+5}+pn+1} =
\lim_{ n \to } \frac{(4-p^2)n+3-2p+ \frac{4}{n} }{\sqrt{4+ \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} }+p+ \frac{1}{n} }= \lim_{ n \to } \frac{(4-p^2)n+3-2p}{\sqrt{4}+p}= \lim_{n \to } \frac{(2-p)(2+p)}{2+p}n + \frac{3-2p}{2+p} = \\ =\frac{3-2p}{2+p}+ \lim_{ n \to }(2-p)n}\)
I teraz rozważania:
1) dla \(\displaystyle{ p=2 \lim_{n \to } a_n= - \frac{1}{4}}\)
2) dla \(\displaystyle{ p (2; ) 2-p0 \lim_{n \to } a_n=\infty}\)
\lim_{ n \to } \frac{(4-p^2)n+3-2p+ \frac{4}{n} }{\sqrt{4+ \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} }+p+ \frac{1}{n} }= \lim_{ n \to } \frac{(4-p^2)n+3-2p}{\sqrt{4}+p}= \lim_{n \to } \frac{(2-p)(2+p)}{2+p}n + \frac{3-2p}{2+p} = \\ =\frac{3-2p}{2+p}+ \lim_{ n \to }(2-p)n}\)
I teraz rozważania:
1) dla \(\displaystyle{ p=2 \lim_{n \to } a_n= - \frac{1}{4}}\)
2) dla \(\displaystyle{ p (2; ) 2-p0 \lim_{n \to } a_n=\infty}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 27 maja 2014, o 06:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Parametr p a granica.
A co jeśli p=-2? Mógłby mi ktoś wytłumaczyć, ile wynosi granica, gdy licznik dąży do nieskończoności, a mianownik do 0? Albo licznik do liczby, a mianownik do zera? Czy zawsze można stosować regułę, że jak licznik ma wyższą najwyższą potęgę niż mianownik to dąży do nieskończoności, a jak odwrotnie do do 0?
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 27 maja 2014, o 06:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Parametr p a granica.
Czyli jak podzielimy czy pomnożymy przez 0 ciąg dążący do nieskończoności to wyjdzie ciąg dążący do nieskończoności? Zawsze tak jest?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Parametr p a granica.
To przejście jest nieuzasadnione. Nawet, gdyby przymknąć na nie oko, to takie podejście wyklucza \(\displaystyle{ p = -2.}\) Ten przypadek musi być rozważony osobno. Wątpliwość stechiometrii jest słuszna.meninio pisze:\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{(4-p^2)n+3-2p+ \frac{4}{n} }{\sqrt{4+ \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} }+p+ \frac{1}{n} }= \lim_{ n \to \infty } \frac{(4-p^2)n+3-2p}{\sqrt{4}+p}}\)
Dla \(\displaystyle{ p = -2}\) mamy
\(\displaystyle{ a_n = \sqrt{4n^2+3n+5} + (2n-1).}\)
Pierwszy składnik jest dodatni, a drugi zmierza do nieskończoności, zatem wtedy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = \infty.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 2 kwie 2018, o 14:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Parametr p a granica.
Dlaczego nie tak?
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \sqrt{4n^2+3n+5}- \left( pn+1 \right) \right) =\lim_{ n\to \infty } \left( n \left( \sqrt{4+ \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} }-p \right) -1 \right) =\\
= \left( 2-p \right) \lim_{ n\to \infty } \left( n \right) -1}\)
Wtedy wyjdzie tak samo, jednak w podpunkcie b) granicą będzie\(\displaystyle{ -1}\).
Albo postępując Państwa metodą nie trzeba przypadkiem sprawdzić dla jakich wartości \(\displaystyle{ p}\) mianownik będzie równy \(\displaystyle{ 0}\) i rozważyć te przypadki osobno? Czy w tego typu zadaniach nie trzeba rozwiązać warunek \(\displaystyle{ \sqrt{4 n^{2}+ 3n+5} \neq - \left( pn+1 \right)}\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb N_{+}}\)?
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \sqrt{4n^2+3n+5}- \left( pn+1 \right) \right) =\lim_{ n\to \infty } \left( n \left( \sqrt{4+ \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} }-p \right) -1 \right) =\\
= \left( 2-p \right) \lim_{ n\to \infty } \left( n \right) -1}\)
Wtedy wyjdzie tak samo, jednak w podpunkcie b) granicą będzie\(\displaystyle{ -1}\).
Albo postępując Państwa metodą nie trzeba przypadkiem sprawdzić dla jakich wartości \(\displaystyle{ p}\) mianownik będzie równy \(\displaystyle{ 0}\) i rozważyć te przypadki osobno? Czy w tego typu zadaniach nie trzeba rozwiązać warunek \(\displaystyle{ \sqrt{4 n^{2}+ 3n+5} \neq - \left( pn+1 \right)}\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb N_{+}}\)?
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2018, o 16:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Parametr p a granica.
To jest niepoprawne przejście - nie wolno "częściowo" przechodzić do granicy.sprawdzam_swoje_idee pisze:\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( n \left( \sqrt{4+ \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} }-p \right) -1 \right) = \left( 2-p \right) \lim_{ n\to \infty } \left( n \right) -1}\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 2 kwie 2018, o 14:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Re: Parametr p a granica.
Dlaczego "częściowo"? Limes (n) razy limes (wyrażenie pod pierwiastkiem minus p) i minus limes 1, czyli
to co napisałem po wyznaczeniu granicy. Korzystałem z tego, że \(\displaystyle{ \lim (ab) = \lim (a) \lim (b)}\)
to co napisałem po wyznaczeniu granicy. Korzystałem z tego, że \(\displaystyle{ \lim (ab) = \lim (a) \lim (b)}\)
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2018, o 19:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 4 sty 2017, o 20:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 4 razy
Parametr p a granica.
to prawda, ale nie prawdą jest, że jeżeli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n=a}\) to \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }a_nb_n=a\cdot \lim_{ n\to \infty }b_n}\) a to właśnie zrobiłeś.sprawdzam_swoje_idee pisze:lim (ab) = lim (a) lim (b)
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 2 kwie 2018, o 14:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 8 kwie 2021, o 18:30
- Płeć: Kobieta
- wiek: 24
Re: Parametr p a granica.
tutaj rozwiązanie w formie filmiku
Kod: Zaznacz cały
https://www.youtube.com/watch?v=E8YBw3Slt9A&t=1s