Parametr p a granica.

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
alien
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lubcza
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2 razy

Parametr p a granica.

Post autor: alien »

Witam mam takie jedno zadanko i nie wiem jak je zrobic:
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) ciąg o wyrazie ogólnym
\(\displaystyle{ a_n=\sqrt{4n^2+3n+5}-(p \cdot n+1)}\)
a)ma granicą niewłaściwą \(\displaystyle{ -\infty}\)
b)ma granicę właściwą(oblicz tę granicę)
c)ma granicę niewłaściwą \(\displaystyle{ +\infty}\).
Pomoże mi ktoś?;>
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2018, o 16:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Awatar użytkownika
meninio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1876
Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 467 razy

Parametr p a granica.

Post autor: meninio »

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to } \frac{4n^2+3n+5 -(pn+1)^2}{\sqrt{4n^2+3n+5}+pn+1}= \lim_{ n \to } \frac{(4-p^2)n^2+(3-2p)n+4}{\sqrt{4n^2+3n+5}+pn+1} =
\lim_{ n \to } \frac{(4-p^2)n+3-2p+ \frac{4}{n} }{\sqrt{4+ \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} }+p+ \frac{1}{n} }= \lim_{ n \to } \frac{(4-p^2)n+3-2p}{\sqrt{4}+p}= \lim_{n \to } \frac{(2-p)(2+p)}{2+p}n + \frac{3-2p}{2+p} = \\ =\frac{3-2p}{2+p}+ \lim_{ n \to }(2-p)n}\)


I teraz rozważania:
1) dla \(\displaystyle{ p=2 \lim_{n \to } a_n= - \frac{1}{4}}\)
2) dla \(\displaystyle{ p (2; ) 2-p0 \lim_{n \to } a_n=\infty}\)
alien
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lubcza
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2 razy

Parametr p a granica.

Post autor: alien »

Dzięki serdeczne
stechiometria
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 27 maja 2014, o 06:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Parametr p a granica.

Post autor: stechiometria »

A co jeśli p=-2? Mógłby mi ktoś wytłumaczyć, ile wynosi granica, gdy licznik dąży do nieskończoności, a mianownik do 0? Albo licznik do liczby, a mianownik do zera? Czy zawsze można stosować regułę, że jak licznik ma wyższą najwyższą potęgę niż mianownik to dąży do nieskończoności, a jak odwrotnie do do 0?
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Parametr p a granica.

Post autor: piasek101 »

Nie wszystko na raz.

1) gdy masz \(\displaystyle{ p=-2}\) to zachodzi przypadek (3) z zielonego posta.
stechiometria
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 27 maja 2014, o 06:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Parametr p a granica.

Post autor: stechiometria »

Czyli jak podzielimy czy pomnożymy przez 0 ciąg dążący do nieskończoności to wyjdzie ciąg dążący do nieskończoności? Zawsze tak jest?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Parametr p a granica.

Post autor: Dasio11 »

meninio pisze:\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{(4-p^2)n+3-2p+ \frac{4}{n} }{\sqrt{4+ \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} }+p+ \frac{1}{n} }= \lim_{ n \to \infty } \frac{(4-p^2)n+3-2p}{\sqrt{4}+p}}\)
To przejście jest nieuzasadnione. Nawet, gdyby przymknąć na nie oko, to takie podejście wyklucza \(\displaystyle{ p = -2.}\) Ten przypadek musi być rozważony osobno. Wątpliwość stechiometrii jest słuszna.

Dla \(\displaystyle{ p = -2}\) mamy

\(\displaystyle{ a_n = \sqrt{4n^2+3n+5} + (2n-1).}\)

Pierwszy składnik jest dodatni, a drugi zmierza do nieskończoności, zatem wtedy

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = \infty.}\)
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Parametr p a granica.

Post autor: piasek101 »

Dla ścisłości - nie analizowałem ,,zielonego" i stąd moja poprzednia podpowiedź.
sprawdzam_swoje_idee
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 2 kwie 2018, o 14:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Parametr p a granica.

Post autor: sprawdzam_swoje_idee »

Dlaczego nie tak?
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \sqrt{4n^2+3n+5}- \left( pn+1 \right) \right) =\lim_{ n\to \infty } \left( n \left( \sqrt{4+ \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} }-p \right) -1 \right) =\\
= \left( 2-p \right) \lim_{ n\to \infty } \left( n \right) -1}\)

Wtedy wyjdzie tak samo, jednak w podpunkcie b) granicą będzie\(\displaystyle{ -1}\).

Albo postępując Państwa metodą nie trzeba przypadkiem sprawdzić dla jakich wartości \(\displaystyle{ p}\) mianownik będzie równy \(\displaystyle{ 0}\) i rozważyć te przypadki osobno? Czy w tego typu zadaniach nie trzeba rozwiązać warunek \(\displaystyle{ \sqrt{4 n^{2}+ 3n+5} \neq - \left( pn+1 \right)}\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb N_{+}}\)?
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2018, o 16:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Parametr p a granica.

Post autor: Jan Kraszewski »

sprawdzam_swoje_idee pisze:\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( n \left( \sqrt{4+ \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} }-p \right) -1 \right) = \left( 2-p \right) \lim_{ n\to \infty } \left( n \right) -1}\)
To jest niepoprawne przejście - nie wolno "częściowo" przechodzić do granicy.

JK
sprawdzam_swoje_idee
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 2 kwie 2018, o 14:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Parametr p a granica.

Post autor: sprawdzam_swoje_idee »

Dlaczego "częściowo"? Limes (n) razy limes (wyrażenie pod pierwiastkiem minus p) i minus limes 1, czyli
to co napisałem po wyznaczeniu granicy. Korzystałem z tego, że \(\displaystyle{ \lim (ab) = \lim (a) \lim (b)}\)
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2018, o 19:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
rubiccube
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 4 sty 2017, o 20:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 4 razy

Parametr p a granica.

Post autor: rubiccube »

sprawdzam_swoje_idee pisze:lim (ab) = lim (a) lim (b)
to prawda, ale nie prawdą jest, że jeżeli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n=a}\) to \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }a_nb_n=a\cdot \lim_{ n\to \infty }b_n}\) a to właśnie zrobiłeś.
sprawdzam_swoje_idee
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 2 kwie 2018, o 14:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Parametr p a granica.

Post autor: sprawdzam_swoje_idee »

Dzięki, nie miałem pojęcia!
matematykajestsuper
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 8 kwie 2021, o 18:30
Płeć: Kobieta
wiek: 24

Re: Parametr p a granica.

Post autor: matematykajestsuper »

tutaj rozwiązanie w formie filmiku :)

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=E8YBw3Slt9A&t=1s
ODPOWIEDZ