I znowu ciag

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ (1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^n=q_n+r_n \sqrt{2}+ s_n \sqrt{3}+ t_n \sqrt{6}}\),
\(\displaystyle{ q_n, r_n , s_n, t_n \in\NN, \ n=1, 2,......}\),
\(\displaystyle{ \lim \frac{t_n}{q_n}= ?}\)

[Janusz Tracz]

Zauważmy, że

• ciąg \(\displaystyle{ q_n}\) to

  Kod: Zaznacz cały

  https://oeis.org/A188570

  ,

• ciąg \(\displaystyle{ t_n}\) to

  Kod: Zaznacz cały

  https://oeis.org/A188573

  .

Opisane są rekurencją \(\displaystyle{ a_n = 4a_{n-1} + 4a_{n-2} - 16a_{n-3} + 8a_{n-4}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_0,a_1,a_2,a_3}\) są znane i determinują dalszą ewolucję. Więc

\(\displaystyle{ \begin{cases} q_n = 4q_{n-1} + 4q_{n-2} - 16q_{n-3} + 8q_{n-4} \\ q_0=1 \\ q_1=1 \\ q_2=6 \\ q_3=16 \end{cases} \quad \quad \& \quad \quad \begin{cases}t_n = 4t_{n-1} + 4t_{n-2} - 16t_{n-3} + 8t_{n-4} \\ t_0=0 \\ t_1=0 \\ t_2=2 \\ t_3=6 \end{cases}}\)

rekurencje te są liniowe i można jest rozwiązać

\(\displaystyle{ q_n=\frac{\left(-\sqrt{2}-\sqrt{3}+1\right)^n+\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}+1\right)^n+\left(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+1\right)^n+\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+1\right)^n}{4}, }\)

\(\displaystyle{ t_n=\frac{-\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}+1\right)^n-\left(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+1\right)^n+\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+1\right)^n+\left(1-\sqrt{2 \sqrt{6}+5}\right)^n}{4 \sqrt{6}}.}\)

Zatem

\(\displaystyle{ \begin{split}
\lim_{n \to \infty } \frac{t_n}{q_n} & = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt{6}} \cdot \frac{-\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}+1\right)^n-\left(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+1\right)^n+\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+1\right)^n+\left(1-\sqrt{2 \sqrt{6}+5}\right)^n}{\left(-\sqrt{2}-\sqrt{3}+1\right)^n+\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}+1\right)^n+\left(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+1\right)^n+\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+1\right)^n} \\
& = \frac{1}{ \sqrt{6}}.
\end{split}}\)

Jeszcze w ramach sprawdzenia czy nie ma jakichś rachunkowych błędów sprawdzenie

\(\displaystyle{ \left| \frac{ t_{25} }{ q_{25} } - \frac{1}{ \sqrt{6} } \right| = \left| \frac{ 282025965649920 }{690819710058496} - \frac{1}{ \sqrt{6} } \right| \approx 2.9313935583887930025 \times 10^{-13}.}\)